重聚牛顿迭代

最新推荐文章于 2025-10-21 12:49:20 发布

原创最新推荐文章于 2025-10-21 12:49:20 发布 · 708 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

牛顿迭代专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种使用牛顿迭代法解决特殊阶乘不等式的方法，即寻找最小正整数x使得x!大于特定值。通过斯特林公式推导并采用牛顿迭代法进行高效计算。

给出n和p，求最小的正整数x使得x!>p^q
有斯特林公式n!≈√(2πn)·(n/e)^n
取个log得log(n!)≈0.5*log(2*pi)+(n+0.5)*log(n)-n
然后log(p^q)=q*log(p)
不过二分是过不去的
这个函数可以牛顿迭代，就是对于一个x，在函数上做切线，与x轴的交点作为下一次的x
复杂度是loglogn
eps开到1e-5才能过，低了会WA，高了会TLE

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,p,q,b,c,d,e,f,g;
const int mob=1004535809;
const double pi=acos(-1);
const double __ln_2pi=0.5*log(2*pi);
int main()
{
    cin>>T>>p>>q>>b>>c>>d>>e>>f>>g;
    ll ans=1;
    while(T--)
    {
        double alpha=q*log(p);
        double x=2;
        while(1)
        {
            double __ln_x=log(x);
            double temp=__ln_2pi+(x+0.5)*__ln_x-x-alpha;
            if(fabs(temp)<1e-5) break;
            x-=temp/(__ln_x+0.5/x);
        }
        (ans*=(ll)ceil(x))%=mob;
        p=(ll(p)*b+c)%d+1,q=(ll(q)*e+f)%g+1;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}