《LeetCode之每日一题》:31.爬楼梯

最新推荐文章于 2025-07-29 19:45:28 发布

Mascottttttt

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分类专栏： LeetCode 文章标签： leetcode 算法动态规划

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这篇博客探讨了爬楼梯问题的四种解决方案，包括青蛙跳台阶法、斐波那契数列法、通项公式法和矩阵快速幂法。通过这些方法，可以计算出到达n阶楼梯的不同爬楼方式。每种方法都详细阐述了其实现原理，并给出了相应的代码实现，特别是矩阵快速幂法，其时间复杂度为O(logn)，空间复杂度为O(1)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：爬楼梯

有关题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

题解

1.青蛙跳台阶四种解法
2.斐波那契数列一种解法
3.通项公式法

我们已经知道该题满足 
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)（n >= 2）显然满足线性关系，
有下面的递推数列的特征方程：
x ^ 2 = x + 1

在这里插入图片描述
其他推导方法：斐波那契数列通项公式推导

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        double sqrt5 = sqrt(5);
        double fibn = pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
        //这边为啥是n + 1
        //因为通向前两项为 1 1 
//        当我们的n = 2时其实是第三项
//其实就是下标从零开始罢了
        return (int)round(fibn / sqrt5);
        //函数round指的是四舍五入意思
        //我们的sqrt(5)是个小数
        //我们的fibn中由于分成了两部分所以，有可能减出来的值可能有微小的偏差，在使用强制类型转换时，可能无法准确得出结果，所以用四舍五入函数进行计算
        //要么我们就在考虑取整风险return (int)(fibn / sqrt5 + 0.5)
    }
};

时间复杂度：与pow函数的时间复杂度有关
空间复杂度：O(1)
在这里插入图片描述
4、矩阵快速幂

那我们只需将M的n次方算出来就可以了
参考官方题解

class Solution {
    public:
    vector<vector<long long>> multiply(vector<vector<long long>> &a,vector<vector<long long>> &b)
    {
        vector<vector<long long>> c(2,vector<long long>(2));
        for (int i = 0; i < 2; i++)
        {
            for (int j = 0; j < 2; j++)
            {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        //这边绕不过来，就直接C[0][0] = 
        //C[0][1]=
        //反正就四种情况
        return c;
    }

    //矩阵n次幂--二分法求解
    vector<vector<long long>> matrixPow (vector<vector<long long>> &a, int n)
    {
        vector<vector<long long>> ret = {{1,0},{0,1}};
        while(n > 0)
        {
            if ((n & 1) == 1)//注:==的优先级顺序高于 &
            {
                ret = multiply(ret,a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a,a);
        }
        return ret;
    }
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<vector<long long>> ret = {{1,1},{1,0}};
        vector<vector<long long>> res = matrixPow(ret,n);
        return res[0][0];
    }
};

时间复杂度：O(log n),二分查找次数
空间复杂度：O(1)
在这里插入图片描述
C版本

注：C版本中我们需注意的是，利用结构体完成数组间直接赋值

C中结构体直接可以赋值为另外一个结构体而数组不行

struct Matrix {
    long long mat[2][2];
};

struct Matrix multiply(struct Matrix a, struct Matrix b) {
    struct Matrix c;
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            c.mat[i][j] = a.mat[i][0] * b.mat[0][j] + a.mat[i][1] * b.mat[1][j];
        }
    }
    return c;
}

struct Matrix matrixPow(struct Matrix a, int n) {
    struct Matrix ret;
    ret.mat[0][0] = ret.mat[1][1] = 1;
    ret.mat[0][1] = ret.mat[1][0] = 0;
    while (n > 0) {
        if ((n & 1) == 1) {
            ret = multiply(ret, a);
        }
        n >>= 1;
        a = multiply(a, a);
    }
    return ret;
}

int climbStairs(int n) {
    struct Matrix ret;
    ret.mat[1][1] = 0;
    ret.mat[0][0] = ret.mat[0][1] = ret.mat[1][0] = 1;
    struct Matrix res = matrixPow(ret, n);
    return res.mat[0][0];
}