背包问题-＞采药问题-＞装箱问题

一、背包问题

有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

二、采药问题：

有总时间为T，有m株药，每株药有其价值和采集时间，要求在总时间内所采药的总价值最大。

三：装箱问题：

有一个箱子容量为V（正整数0≤V≤20000），同时有n个物品（0<n≤30，每个物品有一个体积（正整数）。

要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

解题思路：

三道题都可以用搜索和动规做，但搜索容易超时，最好还是用动规。

背包问题和采药问题其实一样的，就是字换了。

背包详解见下：

01背包问题 图解+详细解析 （转载）_可控的事情要谨慎，不可控的事情要乐观。-优快云博客_背包问题原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_38410730/article/details/81667885（原文写的非常棒，算法核心思想都是一样的，用什么语言实现就不重要了）一、题目描述有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？为方便讲解和理解，下面讲述的例子均先用具体的数字代入，即：eg：number＝4，cap...https://blog.youkuaiyun.com/qq_37767455/article/details/99086678?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522164275174316780274156702%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334.pc%255Fall.%2522%257D&request_id=164275174316780274156702&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~first_rank_ecpm_v1~rank_v31_ecpm-1-99086678.pc_search_result_cache&utm_term=%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98&spm=1018.2226.3001.4187

背包问题懂了之后就会做采药了，然后这次主要讲装箱问题。

装箱问题很显然这个数据用搜索完全没问题，而且一开始想到的也是搜索。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int V, n, ans[35], minv = 100000;

void dps(int x)
{
	if (x == n || V < ans[x]) minv = minv > V ? V : minv;
	else
		for (int i = x; i < n; ++i) {
			if (V >= ans[i]) {
				V -= ans[i];
				dps(i + 1);
				V += ans[i];
			}
		}
}

int main()
{
	cin >> V >> n;
	int i;
	for (i = 0; i < n; ++i) cin >> ans[i];
	sort(ans, ans + n);
	if (ans[0] > V) {
		cout << V;
		return 0;
	}
	dps(0);
	cout << minv;
	return 0;
}

那么这道题就只能用搜索吗？

其实也可以用背包问题的解法，我们看背包问题和采药问题与他的共性：

三者都是在一堆数据里面要找出最优组合。

它与背包问题和采药问题的区别在于：

背包问题和采药问题都有两个属性，背包是体积和价值，采药是时间和价值，可是装箱问题只有体积。这也是有些朋友做装箱问题不会用动规来解题的原因。

那么如何用动规解决装箱问题？

其实我们不妨将装箱问题也赋有两个属性，其一就是他本有的体积，其二是赋给它一个价值的属性，价值的大小就等于他的体积大小，这样我们就很自然的理解了他的动规解法。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int V, n, arr[35], ans[20005];

int main()
{
	cin >> V >> n;
	int i, o;
	for (i = 1; i <= n; ++i) cin >> arr[i];
	for (i = 1; i <= n; ++i) {
		for (o = V; o >= arr[i]; --o) {
			ans[o] = max(ans[o - arr[i]] + arr[i], ans[o]);
		}
	}
	cout << V-ans[V];
	return 0;
}

末了，解释一下，无论是背包问题还是装箱、采药，他们对应的ans[i]的值（也就是体积为i时所拥有的价值）我们必须认为他是最优的，这样才非常容易想明白。