小彩笔的刷题痛苦日记 —— 区域检索-数据不可变、二位区域和检索-矩阵不可变-优快云博客

本文介绍了一种利用前缀和技巧解决数组及矩阵查询问题的方法。对于数组查询问题，通过预处理生成前缀和数组，能在常数时间内完成任意区间的求和操作；对于矩阵查询问题，则扩展到二维前缀和的概念，同样实现高效查询。

两题的解析都来自leetcode上的大神——负雪明烛
 一、区域检索-数据不可变
给定一个整数数组nums，求出数组从索引i到j(i≤j)范围内元素的综合，包含i、j两点。
实现NumArray类：

NumArray（int[] nums）使用数组nums初始化对象
int sumRange(int i, int j) 返回数组 nums 从索引i 到j（i ≤ j）范围内元素的总和，包含i、j 两点（也就是 sum(nums[i], nums[i + 1], ... , nums[j])）

解析：前缀和（preSum）
假设数组长度为N，定义一个长度为N+1的preSum数组，preSum[i]表示该元素左边所有元素之和（不包含i元素）。遍历一次数组，累加区间[0,i)范围内的元素，可以得到preSum数组。
利用preSum数组，可以在 $O (1)$ 时间内快速求出nums任意区间[i,j](两端都包含)的各元素之和。
$s u m (i, j) = p r e S u m [j + 1] - p r e S u m [i]$
在这里插入图片描述

class NumArray{
	private int[] preSum; // 定义一个数组来存放前缀和
	
	public NumArray(int[] nums){
		preSum = new int[nums.length+1]; // 前缀和数组比原数组长度大1
		for(int i =0; i < nums.length; i++){
			preSum[i+1] = premSum[i] + nums[i];
		} 
	}
	
	public int sumRange(int i , int j){
		return preSum[j+1] - preSum[i];
	}
}

二、二维区域和检索-矩阵不可变
给定一个二维矩阵，计算其子矩阵范围内元素的总和，该子矩阵的左上角为(row1, col1)，右下角2为(row2, col2)。

给定 matrix = [
  [3, 0, 1, 4, 2],
  [5, 6, 3, 2, 1],
  [1, 2, 0, 1, 5],
  [4, 1, 0, 1, 7],
  [1, 0, 3, 0, 5]
]
sumRegion(2, 1, 4, 3) -> 8
sumRegion(1, 1, 2, 2) -> 11
sumRegion(1, 2, 2, 4) -> 12

解析：

步骤一：求preSum
先求出二维空间的preSum[i][j]。定义preSum[i][j]表示[0,0]位置到[i,j]位置的子矩阵所有元素之和

计算matrix矩阵中第matrix[i][j]个元素前所有元素的和，并放进preSum矩阵中的preSum[i+1][j+1]位置
$p r e S u m [i + 1] [j + 1] = p r e S u m [i] [j + 1] + p r e S u m [i + 1] [j] - p r e S u m [i] [j] + m a t r i x [i] [j]$
步骤二：根据preSum求子矩阵面积
已经求出了数组中从[0,0]位置到[i,j]位置的preSum，利用preSum[i][j]来求出子矩阵面积

要求[row1, col1]到[row2, col2]的子矩阵面积，对应公式如下：
$p r e S u m [r o w 2] [c o l 2] - p r e S u m [r o w 2] [c o l 1 - 1] - p r e S u m [r o w 1 - 1] [c o l 2] + p r e S u m [r o w 1 - 1] [c o l 1 - 1]$

class NumMatrix {
    private int[][] preSum;

    public NumMatrix(int[][] matrix) {
        if(matrix.length > 0){
            preSum = new int[matrix.length+1][matrix[0].length+1];
            for(int i = 0; i < matrix.length; i++){
                for(int j = 0; j < matrix[0].length; j++){
                    // matrix[i][j]位置之前所有元素的和放在了preSum[i+1][j+1]中
                    preSum[i+1][j+1] = preSum[i][j+1] + preSum[i+1][j] - preSum[i][j] + matrix[i][j];
                }
            }
        }

    }
    
    public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        return preSum[row2 + 1][col2 + 1] - preSum[row2 + 1][col1] - preSum[row1][col2 + 1] + preSum[row1][col1];
    }
}