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最新推荐文章于 2020-06-25 01:57:48 发布

The_Moth

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分类专栏：算法竞赛

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Megurine_Luka_/article/details/99220127

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探讨了在给定大质数P的情况下，如何找出小于P的最大质数Q，并求解Q!modP的问题。利用miller_rabin算法判断质数，通过威尔逊定理和乘法逆元处理大数乘法，实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6608

题目描述

输入输出

样例

Sample Input

1000000007

Sample Output

328400734

题意

给定一个大质数P（1e9与1e14之间），找出小于P的最大质数Q，求Q！mod P的值。

思路

先了解一个事实，P与Q之间的差值并不大。因此可以从P开始枚举，同时采用miller_rabin算法判断质数，求出Q。

接下来要求Q!，我们通过威尔逊定理可以求出(P-1)！mod P的值，将其不停除以从Q+1到P-1的值得到Q！mod P的值，使用乘法逆元处理即可。

由于所有的数字都很大，因此两个数相乘可能超过long long的表示范围。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std; 
ll p;  

ll ModMul(ll a,ll b,ll n)//快速积取模 a*b%n，处理乘法运算超过long long表示范围的情况 
{
    ll ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans+a)%n;
        a=(a+a)%n;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll ModExp(ll a,ll b,ll n)//快速幂取模 a^b%n
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ModMul(ans,a,n);
        a=ModMul(a,a,n);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool is_prime(ll n)//Miller-Rabin素数检测算法
{
      ll i,j,a,x,y,t,u,s=10;
      if(n==2)
            return true;
      if(n<2||!(n&1))
            return false;
      for(t=0,u=n-1;!(u&1);t++,u>>=1);//n-1=u*2^t
      for(i=0;i<s;i++)
      {
          a=rand()%(n-1)+1;
          x=ModExp(a,u,n);
          for(j=0;j<t;j++)
          {
              y=ModMul(x,x,n);
              if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)
                    return false;
              x=y;
          }
          if(x!=1)
                return false;
      }
      return true;
}
ll inv(ll a){
    return ModExp(a,p-2,p);
}
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>p;
        ll q;
        for(q=p-1;q>=2;q--)if(is_prime(q))break;
        ll ans=1;
        if(q==p-1){
            cout<<p-1<<endl;
            continue;
        }
        for(ll i=q+1;i<=p-2;i++){
            ans=ModMul(ans,inv(i),p);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}