【BZOJ1009】GT考试（HNOI2008）-DP矩阵优化+KMP

测试地址：GT考试
做法：本题需要用到DP矩阵优化+KMP。
令$f(i,j)$为到$X$串第$i$位为止，没有一次完整出现整个$A$串，而末尾匹配到$A$串第$j$位的$X$串的数目。那么怎么考虑状态转移呢？注意到，第$i+1$位可能为$0$~$9$任何一个数字，那么当$j$或这个数字不同时，到第$i+1$位时匹配到的点也是不同的。也就是说，从$f(i,j)$可以转移到若干个$f(i+1,x)$，那么我们要怎么求这个$x$呢？对于每个可能插入在末尾的数字，寻找以下字符串的最长后缀：$A$串的前$j$位+新加入的数字组成的字符串，使得这个后缀同时是$A$串的前缀，那么这个后缀的长度就是新的匹配点的位置，那么执行$f(i+1,x)+=f(i,j)$。特别地，$j=m$的转移不予考虑（因为已经出现了一次$A$串）。注意到这个过程和KMP算法非常相似，甚至完全一样，所以我们可以用KMP来优化这个过程。
注意到上述的方法是$O(nm)$的，不可接受。注意到，因为$A$串是固定的，所以每次转移其实都是在一个确定好的状态转移图上进行，那么我们可以把这个图转化成矩阵的形式，其中矩阵的第$i$行第$j$列表示能从$f(x,j-1)$转移到$f(x+1,i-1)$的数字个数，然后我们把所有$f(i,j)$排成一些列向量，设$F_i=(f(i,0)\space f(i,1)\space ...\space f(i,m))^T$，显然$F_i=AF_{i-1}$，于是$F_n=A^nF_0$，于是我们用矩阵快速幂算出$A^n$，然后右乘$F_0=(1\space 0\space 0\space ...\space 0)^T$，即可求出$F_n$，显然我们要求的答案$=\sum_{i=0}^{m-1}f(n,i)$，于是把$F_n$的前$m$个数加起来即可。上述所有运算都是在模$K$意义下进行，总的时间复杂度为$O(m^3\log n)$。
以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m,K,fail[30];
char s[30];
struct matrix {int s[25][25];} E,N,M[35];

void init()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    s[0]='#';
    scanf("%s",s+1);
}

void kmp()
{
    fail[0]=-1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=fail[i-1];
        while(x!=-1&&s[x+1]!=s[i]) x=fail[x];
        if (s[x+1]!=s[i]) fail[i]=0;
        else fail[i]=x+1;
    }
}

matrix mult(matrix A,matrix B)
{
    matrix S=N;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=m;k++)
                S.s[i][j]=(S.s[i][j]+A.s[i][k]*B.s[k][j])%K;
    return S;
}

matrix power(int x)
{
    matrix S=E;
    int i=0;
    while(x)
    {
        if (x&1) S=mult(S,M[i]);
        x>>=1,i++;
    }
    return S;
}

void build()
{
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            N.s[i][j]=0;
    M[0]=E=N;
    for(int i=0;i<=m;i++) E.s[i][i]=1;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++)
        {
            char c=j+'0';
            int x=i;
            while(x!=-1&&s[x+1]!=c) x=fail[x];
            if (s[x+1]!=c) M[0].s[0][i]=(M[0].s[0][i]+1)%K;
            else M[0].s[x+1][i]=(M[0].s[x+1][i]+1)%K;
        }
    for(int i=1;i<=32;i++) M[i]=mult(M[i-1],M[i-1]);
}

void solve()
{
    matrix S=power(n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++) ans=(ans+S.s[i][0])%K;
    printf("%d",ans);
}

int main()
{
    init();
    kmp();
    build();
    solve();

    return 0;
}