程序设计方法与实践-减治法

减治法原理

何为减治？减治法是通过减小问题规模，产生一个子问题，那么只要找到这个子问题的解，然后再找到子问题解与原问题解的关系，那么就成功解决了这个问题。当然，减治操作是可以递归的，问题规模当然越小越好，常见的减治法主要有：减常数规模、减常因子规模、减可变规模三种。

插入排序

插入排序是经典的排序算法，但其实从一个角度讲，它同样是一种的减治法的体现：假如现在有N个数，需要输出非递减序列。这当然很简单！

但让我们从分治法的角度来分析一下，我们要将N个数排序，如果第一个数本身就是有序的就好了！！！我们不妨假设，第一个数就是有序的，那我们当然希望第二个数也是有序的，对吧？那如果第二个数有序，我当然希望第三……咳咳！！！幻想当然是美好的，但我们还是要面对现实。但这个幻想却给我们提供了一个解决问题的角度，也就是排好第一个结点，然后不断减小待排序数的规模，直至问题解决。

那我们来实现以下，要排好第一个数，就先要找到最小的数，这一点毋庸置疑。同样这也很好解决，我们先默认第一个结点下标index是最小的，然后遍历一遍链表，碰见更小的结点就更新一下index。这样一遍下来，就可以得到最小的结点，那么我存好的这个结点后，问题的规模是不是就变小了！！！那么为了充分复用空间，我们直接在外层循环中将下标为index和下标为i的两个数调换顺序即可，此时我只关心第一个结点要放在首位，至于一开始的i节点被换到哪里去了，I don't care！！！

viod InsertionSort(a[N]){
    int index=0;
    for(int i=0;i<N;i++){
        index=i;
        for(int j=i+1;j<N-i;j++){
            if(a[index]>a[j])
            index=j;
        }
        int temp=a[index];
        a[index]=a[i];
        a[i]=temp;
    }
}

拓扑排序 

那么讲完了超级简单的插入排序，我们稍微进阶一下，来看一看比较简单的拓扑排序。

首先拓扑是数学中的一个概念，当然我们今天不讲数学（单纯因为我真的不不不……喜欢）。我们今天简单讲一讲在它在实际生活中的例子：

大家对课表肯定不陌生，但是一张课表是怎么排出来的呢？因为我们知道，课程的开设肯定是有顺序的，以计算机大类课程为例，C语言程序设计肯定要在数据结构之前开吧！！！所以说有些课程是有先后顺序的，而有些课程是可以并行开设的。那如果将这些课程抽象成结点，那么这些课程的关系应该是一个有向无环图。有人会问哦，为什么是一个有向无环图？其实很好理解，可以想象一下，如果你课表上有一门大四课程需要先学一门大一的课程，而你发现这门大一的课程又需要先学这门大四的课程……哇哦！！！（是先有鸡，还是先有蛋呢？）这样很好理解了吧。

那我现在将其抽象出来：

假如现在有四门课程，其开设的先后关系由箭头表示（优先开设指向后开设）。

这当然可以用深度优先遍历的出栈顺序解决，但我们试着从减治法的角度