程序设计方法与实践-减治法

减治法原理

何为减治？减治法是通过减小问题规模，产生一个子问题，那么只要找到这个子问题的解，然后再找到子问题解与原问题解的关系，那么就成功解决了这个问题。当然，减治操作是可以递归的，问题规模当然越小越好，常见的减治法主要有：减常数规模、减常因子规模、减可变规模三种。

插入排序

插入排序是经典的排序算法，但其实从一个角度讲，它同样是一种的减治法的体现：假如现在有N个数，需要输出非递减序列。这当然很简单！

但让我们从分治法的角度来分析一下，我们要将N个数排序，如果第一个数本身就是有序的就好了！！！我们不妨假设，第一个数就是有序的，那我们当然希望第二个数也是有序的，对吧？那如果第二个数有序，我当然希望第三……咳咳！！！幻想当然是美好的，但我们还是要面对现实。但这个幻想却给我们提供了一个解决问题的角度，也就是排好第一个结点，然后不断减小待排序数的规模，直至问题解决。

那我们来实现以下，要排好第一个数，就先要找到最小的数，这一点毋庸置疑。同样这也很好解决，我们先默认第一个结点下标index是最小的，然后遍历一遍链表，碰见更小的结点就更新一下index。这样一遍下来，就可以得到最小的结点，那么我存好的这个结点后，问题的规模是不是就变小了！！！那么为了充分复用空间，我们直接在外层循环中将下标为index和下标为i的两个数调换顺序即可，此时我只关心第一个结点要放在首位，至于一开始的i节点被换到哪里去了，I don't care！！！

viod InsertionSort(a[N]){
    int index=0;
    for(int i=0;i<N;i++){
        index=i;
        for(int j=i+1;j<N-i;j++){
            if(a[index]>a[j])
            index=j;
        }
        int temp=a[index];
        a[index]=a[i];
        a[i]=temp;
    }
}

拓扑排序 

那么讲完了超级简单的插入排序，我们稍微进阶一下，来看一看比较简单的拓扑排序。

首先拓扑是数学中的一个概念，当然我们今天不讲数学（单纯因为我真的不不不……喜欢）。我们今天简单讲一讲在它在实际生活中的例子：

大家对课表肯定不陌生，但是一张课表是怎么排出来的呢？因为我们知道，课程的开设肯定是有顺序的，以计算机大类课程为例，C语言程序设计肯定要在数据结构之前开吧！！！所以说有些课程是有先后顺序的，而有些课程是可以并行开设的。那如果将这些课程抽象成结点，那么这些课程的关系应该是一个有向无环图。有人会问哦，为什么是一个有向无环图？其实很好理解，可以想象一下，如果你课表上有一门大四课程需要先学一门大一的课程，而你发现这门大一的课程又需要先学这门大四的课程……哇哦！！！（是先有鸡，还是先有蛋呢？）这样很好理解了吧。

那我现在将其抽象出来：

假如现在有四门课程，其开设的先后关系由箭头表示（优先开设指向后开设）。

这当然可以用深度优先遍历的出栈顺序解决，但我们试着从减治法的角度来解决这个问题。

我们先思考一下，哪些结点是毫无疑问优先放置的？当然是那些没有入度的结点！！！一个结点没有入度说明它不受其他结点的约束，也就意味着它可以被无脑地放在第一位。那我就可以去除这一个节点，爽爽爽！！！问题的规模似乎又又又减小啦。同理，重复此操作即可，我们就可以输出：

C1->C2->C3->C4->C5

当然拓扑排序可以是不唯一的。 

生成组合对象的算法

1.生成排列

排列问题是给定N个元素，生成其可能的全部序列。为简单起见，我们这里考虑，N各种整数的全部排列。

我们同样试着用减治的思想解决，先问大家一个问题，如果现在有N-1个数组成的序列（已给定），然后我将剩下的一个数随便插入两个数之间，会不会有重复的序列？

当然是没有的，其实很好理解，因为给定序列了，说明这N-1个数的相对位置已经确定了，所以不管第N个数插入哪里，所产生的序列都是唯一的。那么这就是，这道题可以用减治法解决的前提，简单说，完成N个数的排列，可以先完成N-1个数的排列。

 举一个例子，N=3，先排好一个数（只选一个即可）；然后再取第二个数，按顺序从左到右插到现有序列中；最后一个数重复上述操作，如下：

• -1-
• -2-1-、-1-2-
• -3-2-1-、-2-3-1-、-2-1-3-、-3-1-2-、-1-3-2-、-1-2-3-

PS：生成排列问题还可以用Johnson-Trotter算法、字典顺序生成算法，这里就不逐一介绍了。

2.生成子集

生成子集问题是指：给定由N个元素组成的集合A，求以集合A的所有子集为元素的集合。

试着用减治的思想来解决，我们先思考一下，假设任选一个元素a1，那么是不是幂集中的所有集合元素可以被划分为含a1的集合元素，以及不含a1的集合元素。并且将前者的每一个集合元素中加入a1，就变成了后者。有了这个思路，让我们反过来想，假如我们从集合A中任取一个元素ai，剩下的N-1个元素组成集合B，不妨假设有人已经求得了集合B的幂集。那么我们想要求集合A的幂集就会很简单，只需要将集合B的幂集中的每个集合元素中加上ai即可，最后之前的幂集合并哦。

举一个例子，N=3，则有集合A={1，2，3}，先取一个元素（任选一个即可），写出它的幂集；然后再取一个元素，将其添加到上一步得到的幂集中，并补上空集，构成新的幂集；取最后一个元素，重复上述操作，如下：

• {1}，幂集：{ Ø，{1} }
• {1，2}，Ø∪{ 2 }={ 2 }、{ 1 }∪{ 2 }={ 1，2 }、与之前幂集合并，幂集：{ Ø，{1}，{ 2 }，{ 1，2 } }
• { 1，2，3 }，Ø∪{ 3 }={ 3 }、{ 1 }∪{ 3 }={ 1，3 }、{ 2 }∪{ 3 }={ 2，3 }、{ 1，2 }∪{ 3}={ 1，2，3 }、幂集：{ Ø，{1}，{ 2 }，{ 3 }，{ 1，2 }，{ 1，3 }，{ 2，3 }，{ 1，2，3 } }

PS：生成子集问题还可以位串法解决，效率会更快。

减常因子规模算法

折半查找

折半查找其实就是一个减治法的典型案例，每一次遍历都能将处理数据的规模减半，时间复杂度为logN，算得上一个比较优的算法了。

代码实现:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main (){
	int a[21];
	printf("请按非减顺序输入20个整数：\n");
	for(int i=1;i<=20;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	int rel=0;
	int index=0;
	printf("请输入你查找的数：\n");
	scanf("%d",&rel);
	int low=1;
	int high=20;
	int mid;
	while(low<=high){
		mid=(low+high)/2;
		if(a[mid]==rel){
			break; 
		}
		if(rel<a[mid]){
			high=mid-1;
		}
		if(rel>a[mid]){
			low=mid+1;
		}
	}
	index=low;
	printf("%d的位置是：%d\n",rel,index);
	return 0;
	
} 

假币问题

问题简述：有N枚硬币，已知其中有一枚假币，并且假币的重量较轻。现有天枰，设计算法是的称最少次数找到这枚假币。

大家可以思考一下，我们一直假币的重量较轻，而天枰可以判断两堆硬币的重量。那我们不妨将所有硬币分成两堆（如果N为奇数，就剩下一枚），然后用天枰一称，不就知道假币在哪一堆里面了吗。

那么按照这种思路，每称一次，问题的规模就会减为一半 ，时间复杂度就为：

W(1)=0

W(N)=W(N/2)+1

由上面的递推公式，不难计算时间复杂度为：

那可不可以更快呢？当然是可以继续优化的，如果我们一开始就将硬币分成三堆，那么使用一次天枰，问题的规模会减少成多大呢？不难分析出，问题的规模减少为了N/3，同理，我们可以算出这种方案的时间复杂度：

从硬币问题这个实例可以知道，这里的减常因子规模，并不一定是规模变成一半，同样可以是1/3、1/4……也就是规模呈等比递减即可。

约瑟夫问题

讲到这里，不知道大家有没有反应过来，约瑟夫问题同样是体现减治法思想的经典问题。

我们刚才在前面总结到：如果每次处理数据能够将数据规模等比减小，这就是一种减治法。

让我们回顾一下约瑟夫问题：有N个人，从1-n编号，按编号顺序围成圈，从1号开始报数，报到m的人被淘汰。

我们模拟一下，淘汰过程（不失一般性的假设N=7，m=2）：

PS：黑色数字是序号，红色数字代表被淘汰的次序（1就是第一个被淘汰） 

那么不难看出，从1开始，当遍历完一圈后，剩下人数的规模已经减为1/2，而这个1/2是由m决定的。换句话说，m决定以遍历一圈后，减治的常因子，例如m=3，则减治规模是1/3。

减可变规模算法

计算中值和选择问题

选择问题就是，求一n个数组成序列中的，第k的最小值。这个值也被称为，第k个顺序统计量。

我们先试着用无脑的方式解决它，从蛮力法的角度是比较简单的，我们就把它当作一个排序问题问题，排好序后不就可以知道第k个顺序统计量了吗。这样想当然没有问题，但是我们似乎造成了算里的浪费，大家想一想，排好序的序列，我难道只知道第k个顺序统计量嘛？我其实可以知道任何一个位置的顺序统计量，但是其他元素的位置关系我并不关心。

所以我们要做的是设计一个算法，只找第k个最小值（第k个顺序统计量），而不要浪费时间到其他元素的排序上。那么我们该怎么思考？

同样用减治法的思考方式，假设这有一个非减有序整数列，为了更加形象我们将其画出来：

那么有一个问题，如果我将第k个数之前的所有数以及之后的所有数打乱，这一操作会不会影响K的相对位置呢？当然是不会的，因为可以明确，第k个数前面的数一定小于K，同理后面的数一定大于K。那么根据这个思路，我们是不是可以在一个无序整数列选定一个数，然后以这个数为中值进行划分，小于它的在前，大于它的在后，这样就产生了一个新的序列。最后返回刚才选定中值的位置index，如果index==k的话结束，如果index<k那就在k左边重复刚才操作，如果index>k那就在k右边重复刚才操作，直到index==k。

讲到这里熟悉的同学可能已经反应过来了，这有点像快速排序，而那个划分的过程被称为Pomuto划分方法。

这个思路是完全没有问题的，然后我们来实现它（ps：这里面有一个很巧妙的操作(●'◡'●)）：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 交换*a和*b
void swap(int* a, int* b) 
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

// 划分，a是数组首地址，low和high分别是两端的索引,要求low<=high
int PomutoPartition(int a[],int low,int high){
	int s=low;
	int p=a[low];
	int j=low+1;
	while(j<=high){
		if(a[j]<p){
			s++;
			swap(&a[s],&a[j]);
		}
		j++;
	}
	swap(&a[s],&a[low]);
	return s;
}

// 返回第k小的元素值。
// 注意：k不是下标，表示第k个
int Quickelect(int a[],int low,int high,int k){
	int s=PomutoPartition(a,low,high);
	if(s==low+k-1){
		return a[s];
	}
	else if(s>low+k-1){
		return Quickelect(a,low,s-1,k);
	}
	else{
		return Quickelect(a,s+1,high,k-(s-low+1));
	}
	
}

int main (){
	int a[20];
	int left=0;
	int right=19;
	printf("请输入20个无序整数：\n");
	for(int i=0;i<20;++i){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	int k=0;
	printf("你想要找第几个顺序统计量：\n");
	scanf("%d",&k);
	int rel=Quickelect(a,0,19,k);
	printf("%d\n",rel);
	return 0;
}
//9 4 8 6 7 51 52 53 58 54 32 31 39 38 36 21 25 29 24 22

我们重点讲一下Potumo划分方法：

int PomutoPartition(int a[ ],int low,int high)

// 这里将数组输入，并且用两个参数low、high限制住划分的区间

int s=low;
int p=a[low];                            // 划分时选取最左边的值作为中值p
 int j=low+1;                             // 从j=low+1开始遍历
    while(j<=high){                       // 结束条件就是遍历到最后一个元素了，j>=high
        if(a[j]<p){                             // 这一部分为了更加形象，我结合下面的图讲
            s++;
            swap(&a[s],&a[j]);
        }
        j++;
    }

 PS：（s也是>=p的）大家可以先不用疑惑怎么到这一步，我一开始其实也有点懵，这里卡了很久，但其实应该先往后推一次，就知道原理了

现在 j 要继续往后遍历，也就是 j++，如果这时候 a[ j ]<p，将 s 往后挪一个，就是图中的 s

将a[ s ]与a[ j ]交换：

这里就是我前面说的巧妙之处，是将红色箭头中>=p集合中的第一个（也就是a[ s ]），与a[ j ]交换。那么结果就是，>=p集合中的第一个（也就是a[ s ]），变成了>=p集合中的最后一个，并且这个<p的a[ j ]被加到了<p集合的最后一个。（反正我当时看的时候是被惊艳到了！！！）

最后还有一步交换（也很巧妙！！！）：

swap(&a[s],&a[low]);      
return s;

 这一步操作(此时的a[ s ]是<p集合的最后一个)的结果是使此时的a[ s ]是<p集合的最后一个，移动到了<p集合的第一个，并且p变成了>=p集合的第一个。

这样一次划分就做好了，然后调用int Quickelect(int a[],int low,int high,int k)递归解决即可。

待续 

然后关于减可变规模的例子还有：插值查找、二叉查找树的查找与删除，有机会再给大家补充上去。

写在最后

总结一下，减治技术就是利用一个问题给出实例的解，与同样问题较小实例的解的关系，有了这种关系，就可以自顶向下（递归），或者自底向上（非递归）来解决。然后减治法又有三个变种：减去常数规模、减常因子规模、减可变规模。