雅可比迭代求解方程组

#include "iostream.h"
void main()
{  
int i,j,n;
    float **a,*x,e;
void jacobi(float **a,float *x,float e,int n);
cout<<"请输入方程次数和要求精度:";
cin>>n>>e;
a=new float*[n];
x=new float[n];
for(i=0;i<n;i++)
  a=new float[n+2];
cout<<"请输入增广矩阵:"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
  for(j=0;j<n+1;j++)
   cin>>a[j];
cout<<"请输入迭代初值:"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
  cin>>a[n+1];
jacobi(a,x,e,n);
cout<<"方程的解为:"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
  cout<<"X"<<i+1<<"="<<x<<endl; 
}
void jacobi(float **a,float *x,float e,int n)
{
int i,j,flag;
float k,t;
for(i=0;i<n-1;i++) [url=file://选/]file://选[/url]主元素
{
  for(flag=i,j=i+1;j<n;j++)
   if(a[j]>a[flag])
    flag=j;
  if(flag!=i)
   for(j=0;j<n+1;j++)
   {
    t=a[flag][j];
    a[flag][j]=a[j];
    a[j]=t;
   }
}
for(i=0;i<n;i++)    [url=file://建/]file://建[/url]立迭代矩阵
  for(k=a,j=0;j<n+1;j++)
   a[j]/=k;
while(flag)   [url=file://迭/]file://迭[/url]代过程
{
  flag=0;
  for(i=0;i<n;i++)
  {
   for(x=a[n],j=0;j<n;j++)
    if(j!=i)
     x-=a[j]*a[j][n+1];
   if(x-a[n+1]>e)
    flag=1;
  }
  for(i=0;i<n;i++)
   a[n+1]=x; 
}  
}

 

可比迭代法是一种经典的数值方法,用于求解线性方程组 $ Ax = b $,其中 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的系数矩阵,$ x $ 和 $ b $ 分别是未知向量和常数向量。该方法适用于对角占优矩阵(即每一行的主对角线元素绝对值大于其他非对角元素绝对值之和)的情况,以确保收敛性。 ### 原理 可比迭代法的基本思想是将系数矩阵 $ A $ 分解为对角矩阵 $ D $、下三角矩阵 $ L $ 和上三角矩阵 $ U $,即 $ A = D - L - U $。通过构造迭代公式: $$ x^{(k+1)} = D^{-1} (b - (L + U) x^{(k)}) $$ 其中 $ x^{(k)} $ 表示第 $ k $ 次迭代的近似解。通过不断更新 $ x^{(k+1)} $,直到满足收敛条件为止。 ### 实现步骤 1. **初始化**:选择初始猜测值 $ x^{(0)} $,通常取零向量。 2. **迭代计算**:根据迭代公式逐次更新每个未知数 $ x_i $: $$ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1, j \neq i}^n a_{ij} x_j^{(k)} \right) $$ 3. **收敛判断**:设定一个容许误差 $ \epsilon $,当相邻两次迭代结果的差小于 $ \epsilon $ 停止迭代,例如: $$ \| x^{(k+1)} - x^{(k)} \| < \epsilon $$ ### Python代码实现 以下是一个简单的 Python 实现示例: ```python import numpy as np def jacobi(A, b, tol=1e-10, max_iter=1000): n = len(b) x = np.zeros_like(b) # 初始解向量 x_new = np.zeros_like(x) for iter_count in range(max_iter): for i in range(n): s = sum(A[i][j] * x[j] for j in range(n) if j != i) x_new[i] = (b[i] - s) / A[i][i] # 检查收敛性 if np.linalg.norm(x_new - x) < tol: break x = x_new.copy() return x # 示例矩阵与向量 A = np.array([[4, -1, 0], [-1, 4, -1], [0, -1, 4]]) b = np.array([15, 10, 10]) solution = jacobi(A, b) print("解向量 x:", solution) ``` ### 特点 - **优点**:算法简单,易于实现。 - **缺点**:收敛速度较慢,且要求矩阵 $ A $ 具有对角占优特性才能保证收敛[^1]。 ---
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