一类很有趣的数——回归数

前些天看到一下一篇文章：
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英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾经发现过一种有趣的现象:
      153=13+53+33   371=33+73+13   370=33+73+03   407=43+03+73
他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四(五,六)次幂之和的四(五,六)位数:
  1634=14+64+34+44  54748=55+45+75+45+85    548834=56+46+86+86+36+46
像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数 n 有回归数?这样的 n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的 n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?
  1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使 n 位数成为回归数的 n 只有有限个.
  设 An 是这样的回归数,即:
   An=a1a2a3...an=a1n+a2n+...+ann  (其中 0<=a1,a2,...an<=9)
   从而  10n-1<=An<=n9n  即 n 必须满足 n9n>10n-1  也就是  (10/9)n<10n       ⑴
   随着自然数 n 的不断增大,(10/9)n 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明:
   (10/9)60=556.4798...<10*60=600        (10/9)61=618.3109...>10*61=610
   对于 n>=61,便有  (10/9)n>10n
由此可知,使⑴式成立的自然数 n<=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:
   一位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9
   二位回归数:不存在
   三位回归数:153,370,371,407
   四位回归数:1634,8208,9474
   五位回归数:54748,92727,93084
   六位回归数:548834
   七位回归数:1741725,4210818,9800817
   八位回归数:24678050,24678051
但是此后对于哪一个自然数 n (<=60)还有回归数?对于已经给定的 n ,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?
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这对于我们学计算机的人来说很容易通过编程实现，我也在10分钟内写了一个程序，让它在我的奔三机器上跑。结果让我很郁闷，跑了两个多小时才到7位数。这是我发现原先程序有很多可以提高效率的地方，下面给出我修改后的代码

#include <stdio.h>
int main()
{
long num,total,begin=1,end=9;
long code[]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};   / /保存i^x,0<=i<=9,1<=x<=60;
int i,n;
char divnum[61],*p;
FILE *fp;
if((fp=fopen("result.txt","w"))==NULL)  / /result.txt保存结果，同时在终端上显示
{
  printf("Open file error!");
  exit(0);
}
for(n=1;n<=60;n++)       / /n表示当前数字的位数
{
  printf("The %2d group:",n);
  fprintf(fp,"The %2d group:",n);
  for(num=begin;num<=end;num++)  
  {
   if(num%100000l==0)     / /每处理100000个数字刷屏一次
    printf("%15ld/b/b/b/b/b/b/b/b/b/b/b/b/b/b/b",num);
   sprintf(divnum,"%ld",num);   / /分离数字到字符数组
   total=0;
   for(p=divnum;*p;p++)
    total+=code[*p-'0'];   / /计算各个位数的n次方和
   if(total==num)      / /是回归数
   {
    printf("%ld,",num);
    fprintf(fp,"%ld,",num);
    fflush(fp);
   }
  }
  for(i=2;i<10;i++)      / /由i^x计算i^(x+1)
   code*=i;     
  begin*=10;
  end=end*10+9;
  printf("/b ->OK!               /n"); / /一组数据处理完毕
  fprintf(fp,"/b ->OK!/n");
  fflush(fp);        / /强行写入文件
}
printf("/n/nAll number has been list!/n");
fprintf(fp,"/n/nAll number has been list!/n");
fclose(fp);
return 0;
}
这个程序的效率可能并不是很好，目前我也没有发现更好的方法。但是通过程序计算，我发现上面给出的回归数并不完全，我的计算结果如下：
The  1 group:1,2,3,4,5,6,7,8,9 ->OK!
The  2 group ->OK!
The  3 group:153,370,371,407 ->OK!
The  4 group:1634,8208,9474 ->OK!
The  5 group:54748,92727,93084 ->OK!
The  6 group:548834 ->OK!
The  7 group:1741725,4210818,9800817,9926315 ->OK!
The  8 group:24678050,24678051,88593477 ->OK!
The  9 group:146511208,472335975,534494836,912985153 ->OK!
The 10 group ->OK!
可以发现7位数字少了9926315，8位数字少了88593477。
我的程序没有运行完毕，到第10位后长整形就溢出了，也就说：以上结果中1~9位数字中的回归数都是可靠的，完整的。我机子质量差，跑了半个小时才算完9位数字。