基于IOWA算子的投影法在加权几何平均组合预测模型中的应用及性质附Matlab代码

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🔥 内容介绍

一、引言：组合预测模型的精度提升需求与方法创新

在经济指标预测、能源消耗预判、产品销量预估等实际场景中，单一预测模型（如灰色 GM (1,1)、ARIMA、BP 神经网络）常因数据特性（如小样本、非线性、不确定性）或模型假设条件的限制，难以全面捕捉预测对象的变化规律，导致预测结果存在偏差。组合预测模型通过融合多个单一模型的优势，能有效降低单一模型的固有缺陷，提升预测可靠性，成为预测领域的研究热点。

传统组合预测模型的核心是权重确定，常用方法如均方误差最小化法、熵权法等，虽能实现一定程度的精度优化，但存在两点关键局限：一是未充分考虑单一模型预测结果与实际值的 “趋势关联度”（即二者变化规律的相似性），仅以误差大小作为权重分配依据，可能导致趋势吻合度高但短期误差略大的模型被低估；二是权重分配缺乏动态适应性，当预测对象出现趋势突变（如政策调整、市场波动导致的经济指标变化）时，固定权重难以适配新的变化规律，精度大幅下降。

为解决上述问题，本文引入IOWHA（Induced Ordered Weighted Harmonic Averaging，诱导有序加权调和平均）算子与倒数灰关联度，构建新型组合预测模型。其中，倒数灰关联度用于量化单一模型预测序列与实际序列的趋势关联强度，为权重分配提供 “趋势适配性” 依据；IOWHA 算子则通过 “诱导变量排序 + 调和平均加权” 的特性，将趋势关联度与模型误差结合，实现动态、合理的权重分配。该模型既能突出趋势吻合度高的模型贡献，又能通过调和平均抑制极端误差的干扰，为小样本、非线性预测场景提供更精准的解决方案。

二、核心基础理论：从倒数灰关联度到 IOWHA 算子

（一）倒数灰关联度：量化预测序列与实际序列的趋势关联

灰色关联分析是处理小样本、不确定数据的有效工具，其核心是通过计算 “关联度” 衡量两个序列的相似程度。传统灰关联度（如邓氏灰关联度）在处理非负序列时存在 “数值大小影响关联度计算” 的问题，而倒数灰关联度通过对序列进行倒数变换，更聚焦于序列的 “变化趋势一致性”，而非绝对数值差异，更适用于预测模型的趋势适配性评估。

1. 定义与计算步骤

设预测对象的实际值序列为X₀ = (x₀(1), x₀(2), ..., x₀(n))（n为样本数量，x₀(k) > 0），第i个单一预测模型的预测值序列为X_i = (x_i(1), x_i(2), ..., x_i(n))（x_i(k) > 0，i = 1, 2, ..., m，m为单一模型数量），则倒数灰关联度r₀i的计算步骤如下：

（1）序列标准化（倒数变换）：

为消除量纲影响，对实际序列与预测序列进行倒数变换，得到标准化序列：

X₀' = (1/x₀(1), 1/x₀(2), ..., 1/x₀(n))

X_i' = (1/x_i(1), 1/x_i(2), ..., 1/x_i(n))

（2）计算绝对差序列：

Δ₀i(k) = |x₀'(k) - x_i'(k)|（k = 1, 2, ..., n），即标准化后实际序列与预测序列在第k个时刻的绝对差值。

（3）确定两极最大差与最小差：

Δ_max = max{Δ₀i(k) | i = 1, ..., m; k = 1, ..., n}

Δ_min = min{Δ₀i(k) | i = 1, ..., m; k = 1, ..., n}

（4）计算关联系数：

ξ₀i(k) = (Δ_min + ρΔ_max) / (Δ₀i(k) + ρΔ_max)

其中，ρ为分辨系数，取值范围(0,1)，通常取0.5，用于平衡关联度的灵敏度。

（5）计算倒数灰关联度：

r₀i = (1/n)∑(k=1 to n) ξ₀i(k)

2. 核心意义

倒数灰关联度r₀i的取值范围为(0,1]，r₀i越接近 1，说明第i个预测模型的序列与实际序列的变化趋势越相似（趋势关联度越高）；r₀i越接近 0，趋势关联度越低。例如，在某地区月度用电量预测中，若模型 A 的r₀A = 0.85，模型 B 的r₀B = 0.62，则模型 A 的预测趋势与实际用电趋势更吻合，应在组合预测中赋予更高权重。

（二）IOWHA 算子：诱导排序与调和平均结合的加权工具

IOWHA 算子是在 OWA 算子与加权调和平均算子基础上的扩展，其核心特性是通过 “诱导变量” 对输入元素进行排序，再以调和平均形式进行加权融合，能有效抑制极端值对结果的干扰，同时灵活结合外部性能指标（如倒数灰关联度、模型误差）进行权重分配。

1. 定义

设〈v₁, a₁〉, 〈v₂, a₂〉, ..., 〈v_m, a_m〉为m个诱导有序对，其中v_i为诱导变量（用于反映输入元素的重要性，如倒数灰关联度），a_i为输入值（如单一模型的预测值或性能指标，a_i > 0）。对诱导变量进行降序排序，得到v_(σ(1)) ≥ v_(σ(2)) ≥ ... ≥ v_(σ(m))（σ为{1,2,...,m}的置换），则 IOWHA 算子的输出为：

IOWHA(〈v₁,a₁〉,...,〈v_m,a_m〉) = m / [∑(i=1 to m) (w_i / a_(σ(i)))]

其中，w = (w₁, w₂, ..., w_m)^T为 IOWHA 算子的权重向量，满足w_i ≥ 0且∑(i=1 to m) w_i = 1，通常通过 “最大熵准则” 或 “专家经验” 确定（如m=4时，w = (0.4, 0.3, 0.2, 0.1)，确保排序靠前的输入元素权重更大）。

2. 关键特性

（1）诱导排序性：输入值的权重由诱导变量的排序结果决定，而非输入值本身大小，可优先赋予诱导变量高的元素更大权重（如趋势关联度高的模型）；

（2）调和平均优势：相较于算术平均，调和平均对极端大值更敏感、对极端小值更稳健，能有效抑制单一模型极端预测值对组合结果的干扰（如某模型因异常数据出现远超实际值的预测，调和平均会降低其实际贡献）；

（3）单调性：若所有输入值a_i增大，且诱导变量排序不变，则 IOWHA 算子的输出单调递增，保证预测结果的稳定性。

（三）组合预测模型的权重确定逻辑

基于倒数灰关联度与 IOWHA 算子的组合预测模型，权重确定遵循 “双指标融合” 逻辑：

1. ** primary 指标：倒数灰关联度r₀i**：优先选择r₀i高的模型，确保组合结果与实际趋势一致；

1. ** secondary 指标：模型相对误差e_i**：对r₀i相近的模型，通过e_i调整权重，误差小的模型权重更高；

最终通过 IOWHA 算子将 “r₀i-e_i” 双指标转化为组合权重，实现 “趋势适配性” 与 “误差最小化” 的平衡。

⛳️ 运行结果

=== 计算预测相对误差 ===

相对误差矩阵:

0.0086  0.0121  0.0179

-0.0286  -0.0161  0.0008

-0.0474  -0.0376  0.0045

0.0191  -0.0012  -0.0015

-0.0173  -0.0018  -0.0219

0.0422  0.0677  0.0742

-0.0176  0.0557  0.0546

=== 计算预测精度序列 ===

计算的预测精度矩阵:

0.9914  0.9879  0.9821

0.9714  0.9839  0.9992

0.9526  0.9624  0.9955

0.9809  0.9988  0.9985

0.9827  0.9982  0.9781

0.9578  0.9323  0.9258

0.9824  0.9443  0.9454

论文给出的预测精度矩阵:

0.9742  0.9639  0.9468

0.9128  0.9518  0.9979

0.8566  0.8879  0.9875

0.9441  0.9963  0.9955

0.9476  0.9947  0.9333

0.8736  0.8056  0.7890

0.9439  0.8409  0.8439

=== 计算各单项预测方法的投影值 ===

各单项预测方法的投影值:

AR模型: P1 = 7.9626

GM模型: P2 = 7.9607

指数平滑模型: P3 = 7.9615

投影最小值 P_min = 7.9607

投影最大值 P_max = 7.9626

=== 计算组合预测信息矩阵E ===

组合预测信息矩阵E:

64.0226  62.8747  62.4486

62.8747  61.7933  61.3707

62.4486  61.3707  60.9690

=== 构建基于IOWA算子的优化模型 ===

目标函数分子系数:

c1 = 63.7122, c2 = 62.5781, c3 = 62.1656

First-order   Norm of

Iter F-count      f(x) Feasibility  optimality     step

0    4  -7.962486e+00  0.000e+00  1.201e-03

1    8  -7.962488e+00  1.110e-16  1.175e-03  9.154e-04

2   12  -7.962505e+00  0.000e+00  1.154e-03  9.205e-03

3   16  -7.962592e+00  0.000e+00  1.046e-03  4.741e-02

4   20  -7.962888e+00  0.000e+00  8.337e-04  2.142e-01

5   24  -7.963039e+00  0.000e+00  8.628e-04  2.433e-01

6   29  -7.963021e+00  0.000e+00  4.335e-04  5.784e-02

7   33  -7.963030e+00  0.000e+00  3.155e-04  2.494e-02

8   37  -7.963031e+00  1.110e-16  3.187e-04  1.738e-03

9   41  -7.963032e+00  0.000e+00  3.103e-04  2.445e-03

10   45  -7.963037e+00  0.000e+00  2.665e-04  1.207e-02

11   49  -7.963049e+00  0.000e+00  1.136e-04  4.710e-02

12   53  -7.963050e+00  0.000e+00  2.140e-05  2.791e-02

13   57  -7.963050e+00  0.000e+00  1.000e-05  4.245e-04

14   61  -7.963057e+00  0.000e+00  7.617e-06  1.100e-02

15   65  -7.963058e+00  1.110e-16  2.000e-06  1.534e-03

16   69  -7.963060e+00  0.000e+00  9.449e-07  2.940e-03

找到满足约束的局部最小值。

优化已完成，因为目标函数沿

可行方向在最优性容差值范围内呈现非递减，

并且在约束容差值范围内满足约束。

<停止条件详细信息>

优化结果:

最优权重: l1* = 0.6467, l2* = 0.0000, l3* = 0.3533

最大投影值: P* = 7.9631

=== 计算组合预测值 ===

时间 实际值 AR预测 GM预测 指数预测 组合预测

1 20.9576 20.4177 20.2024 19.8440 20.2131

2 18.5803 20.2004 19.4744 18.5394 19.5972

3 16.8424 19.2536 18.7295 16.6315 18.2832

4 20.5426 19.3928 20.6187 20.6352 19.8229

5 19.0373 20.0354 19.1385 20.3077 20.1311

6 24.4297 21.3468 19.6799 19.2748 20.5905

7 22.3584 23.6131 18.8046 18.8686 21.8141

=== 计算预测效果评价指标 ===

预测效果评价指标:

方法 SSE MAE MAPE

AR模型 22.1274 1.5795 0.0781

GM模型 40.1366 1.7168 0.0798

指数平滑模型 41.6598 1.6247 0.0723

组合预测模型 20.4146 1.3427 0.0643

=== 组合预测性质分析 ===

组合预测为优性组合预测 (P_comb = 7.9631 > P_max = 7.9626)

✓ 组合预测模型的预测精度比任一单项模型都要高

=== 验证信息矩阵E的性质 ===

信息矩阵E的特征值: 0.008630, 0.032141, 186.744122

✓ 信息矩阵E是正定矩阵

✓ 预测值对数向量组线性无关

=== 组合预测效果改善分析 ===

相对于最佳单项预测方法的改善程度:

SSE改善: 7.74%

MAE改善: 14.99%

MAPE改善: 11.14%

=== 复现完成 ===

>> 

📣 部分代码

🔗 参考文献

[1]陈启明,陈华友.基于IOWA算子的投影法在加权几何平均组合预测模型中的应用及性质[J].数理统计与管理, 2013, 32(6):8.DOI:CNKI:SUN:SLTJ.0.2013-06-009.

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🌟 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌟图像处理方面

图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知

🌟 路径规划方面

旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等）、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划（EVRP）、 双层车辆路径规划（2E-VRP）、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻、公交车时间调度、水库调度优化、多式联运优化

🌟 无人机应用方面

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🌟 通信方面

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🌟 元胞自动机方面

交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀

🌟 雷达方面

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🌟 车间调度

零等待流水车间调度问题NWFSP 、 置换流水车间调度问题PFSP、 混合流水车间调度问题HFSP 、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP

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