【状态估计】卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器、双卡尔曼滤波器和平方根卡尔曼滤波器研究附Matlab代码

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🔥 内容介绍

状态估计是控制理论、信号处理、导航系统以及机器人学等领域的核心问题。它旨在根据一系列不确定的测量数据，推断出动态系统的最佳状态。理想情况下，我们可以直接获取系统的状态变量，但这在实际应用中往往不可行。传感器可能存在噪声、系统模型可能不精确，甚至某些状态变量根本无法直接测量。因此，开发高效、精确且鲁棒的状态估计算法至关重要。卡尔曼滤波器（Kalman Filter, KF）及其变体，包括扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter, EKF）、双卡尔曼滤波器（Dual Kalman Filter, DKF）和平方根卡尔曼滤波器（Square Root Kalman Filter, SRKF），是解决这类问题的经典工具，并得到了广泛的应用。本文将深入探讨这几种滤波器的原理、特性、适用范围以及各自的优缺点。

一、卡尔曼滤波器 (Kalman Filter, KF)

卡尔曼滤波器是一种递归的贝叶斯滤波器，适用于线性高斯系统。它通过两个步骤循环迭代：预测（Predict）和更新（Update）。预测步骤利用系统动力学模型预测下一时刻的状态和协方差，而更新步骤则根据最新的测量数据修正预测结果，获得后验状态估计。KF的核心思想在于将系统状态和测量噪声均假设为高斯分布，并利用高斯分布的性质进行递推计算。

具体来说，KF基于以下几个方程：

• 状态方程：

   x_k = A x_k-1 + B u_k-1 + w_k-1 (描述状态随时间的演变)

• 测量方程：

   z_k = H x_k + v_k (描述测量值与状态的关系)

其中：* x_k 是 k 时刻的状态向量* u_k 是 k 时刻的控制输入* z_k 是 k 时刻的测量向量* A 是状态转移矩阵* B 是控制输入矩阵* H 是测量矩阵* w_k 是过程噪声，服从高斯分布 N(0, Q)* v_k 是测量噪声，服从高斯分布 N(0, R)* Q 是过程噪声的协方差矩阵* R 是测量噪声的协方差矩阵

KF算法的关键在于计算卡尔曼增益 K_k，它用于权衡预测状态和测量值对后验状态的影响。K_k 的计算公式如下：

• K_k = P_k^- H^T (H P_k^- H^T + R)^-1

其中：* P_k^- 是预测状态协方差矩阵

KF的优点在于其计算效率高，易于实现，并且在满足线性高斯假设的前提下，能够提供最优的状态估计。然而，KF对系统模型的线性度和噪声的高斯性有严格的要求，这限制了其在复杂系统中的应用。

二、扩展卡尔曼滤波器 (Extended Kalman Filter, EKF)

为了应对非线性系统，研究人员提出了扩展卡尔曼滤波器（EKF）。EKF的核心思想是将非线性系统模型进行线性化，然后应用标准的卡尔曼滤波器。线性化通常通过泰勒展开进行，只保留一阶项，忽略高阶项。

EKF修改了KF中的状态方程和测量方程，使其能够处理非线性函数：

• 状态方程：

   x_k = f(x_k-1, u_k-1) + w_k-1

• 测量方程：

   z_k = h(x_k) + v_k

相应的，KF中的状态转移矩阵A和测量矩阵H被替换为状态方程和测量方程的雅可比矩阵：

• A_k = ∂f/∂x | _{x=x_k-1⁺}

• H_k = ∂h/∂x | _{x=x_k^-}

其中：* f(x, u) 是非线性的状态转移函数* h(x) 是非线性的测量函数* x_k-1⁺ 是 k-1 时刻的后验状态估计* x_k^- 是 k 时刻的预测状态估计

EKF的优点在于其能够在一定程度上处理非线性系统，并且计算复杂度相对较低。然而，EKF也存在一些明显的缺点：

• 线性化误差：

   EKF通过线性化近似非线性函数，这可能导致较大的误差，尤其是在系统非线性程度较高的情况下。

• 发散问题：

   由于线性化误差的存在，EKF容易出现发散问题，即状态估计逐渐偏离真实值，甚至完全失效。

• 雅可比矩阵计算：

   对于复杂的非线性函数，雅可比矩阵的计算可能非常困难，甚至无法实现。

三、双卡尔曼滤波器 (Dual Kalman Filter, DKF)

双卡尔曼滤波器（DKF）是一种用于同时估计系统状态和参数的滤波器。与传统的KF和EKF不同，DKF采用两个并行的卡尔曼滤波器：一个用于估计状态，另一个用于估计参数。两个滤波器之间相互作用，状态滤波器利用参数滤波器的参数估计值，而参数滤波器则利用状态滤波器的状态估计值。

假设系统模型如下：

• 状态方程：

   x_k = f(x_k-1, θ_k-1, u_k-1) + w_k-1

• 参数方程：

   θ_k = g(θ_k-1) + η_k-1

• 测量方程：

   z_k = h(x_k, θ_k) + v_k

其中：* θ_k 是 k 时刻的参数向量* η_k 是参数噪声，服从高斯分布* g(θ) 是参数状态转移函数

DKF通常使用两个扩展卡尔曼滤波器，一个用于估计状态 x，另一个用于估计参数 θ。状态滤波器使用参数滤波器提供的参数估计值，将 θ 视为已知量；参数滤波器则使用状态滤波器提供的状态估计值，将 x 视为已知量。

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🔗 参考文献

[1] 魏克新,陈峭岩.基于多模型自适应卡尔曼滤波器的电动汽车电池荷电状态估计[J].中国电机工程学报, 2012, 32(31):8.DOI:CNKI:SUN:ZGDC.0.2012-31-002.

[2] 范文兵,刘春风,张素贞.一种强跟踪扩展卡尔曼滤波器的改进算法[J].控制与决策, 2006, 21(1):4.DOI:10.3321/j.issn:1001-0920.2006.01.016.

[3] 张怡,蔡毅,唐成凯.基于联邦卡尔曼滤波器的信息分配因子的研究[J].计算机仿真, 2009(1):4.DOI:10.3969/j.issn.1006-9348.2009.01.095.

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