【隐式动态求解器】使用非线性Newmark方法的隐式动态求解器附Matlab代码

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🔥 内容介绍

在工程结构动力学分析中，动态响应求解是评估结构安全性和可靠性的关键环节。随着工程结构日益复杂，如高层建筑、大跨度桥梁、航天飞行器等，其动态行为往往呈现出显著的非线性特征，包括材料非线性、几何非线性和接触非线性等。传统的线性动态求解方法已难以准确描述这类结构的动态响应，因此，发展高效、稳定的非线性动态求解技术具有重要的理论意义和工程应用价值。

隐式动态求解方法由于其无条件稳定性（在一定条件下），能够采用较大的时间步长，从而在处理低频动态问题和需要长时间模拟的场景中具有显著优势。Newmark 方法作为一种常用的隐式时间积分方法，在结构动力学分析中得到了广泛应用。然而，传统的 Newmark 方法主要适用于线性系统，对于非线性系统，需要结合迭代方法进行求解。因此，研究基于非线性 Newmark 方法的隐式动态求解器，对于提高复杂结构非线性动态响应分析的效率和精度具有重要意义。

目前，国内外学者已对非线性 Newmark 方法进行了大量研究。文献 [1] 探讨了 Newmark 方法在非线性结构动力分析中的应用，通过引入修正系数来改善方法的稳定性和精度；文献 [2] 提出了一种基于 Newmark 方法的非线性迭代求解策略，提高了求解的收敛速度；文献 [3] 研究了非线性 Newmark 方法在接触问题中的应用，解决了接触非线性带来的求解难题。尽管已有研究取得了一定成果，但在求解效率、稳定性以及对强非线性问题的适应性等方面仍有提升空间。

本文旨在开发一种基于非线性 Newmark 方法的隐式动态求解器。首先，阐述非线性 Newmark 方法的基本原理；然后，详细介绍求解器的结构设计和求解流程，包括非线性方程组的形成、迭代求解方法以及收敛判据等；接着，讨论求解器实现过程中的关键技术，如刚度矩阵的更新策略、阻尼模型的处理等；最后，通过数值算例验证求解器的有效性和可靠性。

二、非线性 Newmark 方法的基本原理

三、隐式动态求解器的结构设计与求解流程

3.1 求解器的结构设计

基于非线性 Newmark 方法的隐式动态求解器主要由以下几个模块组成：

1. 输入模块：负责读取结构的几何模型、材料参数、边界条件、荷载信息以及求解控制参数（如时间步长、总求解时间、收敛精度等）。

1. 预处理模块：对输入数据进行预处理，包括网格划分、质量矩阵和阻尼矩阵的组装、初始条件的设置等。

1. 时间积分模块：实现非线性 Newmark 方法的时间积分过程，包括非线性方程组的形成、迭代求解等。

1. 后处理模块：对求解结果进行处理和输出，如位移、速度、加速度、内力等的时程曲线，以及结构的变形图等。

四、关键技术

4.1 刚度矩阵的更新策略

在非线性动态求解中，刚度矩阵的更新策略对求解效率和收敛性有重要影响。常用的更新策略有：

1. 全量更新：在每个迭代步都重新计算刚度矩阵。这种方法精度高，但计算量大，适用于强非线性问题。

1. 增量更新：仅在位移增量较大时更新刚度矩阵，否则使用上一次的刚度矩阵。这种方法可以减少计算量，提高求解效率，但可能影响收敛性。

1. 拟牛顿法更新：利用前几次迭代的信息来近似更新刚度矩阵，如 BFGS 方法、DFP 方法等。这种方法不需要重新计算刚度矩阵，计算量小，但对非线性问题的适应性有限。

在本文的求解器中，采用全量更新策略，以保证求解的精度和收敛性，特别是对于强非线性问题。

五、结论与展望

本文开发了一种基于非线性 Newmark 方法的隐式动态求解器，详细阐述了其基本原理、结构设计、求解流程和关键技术，并通过数值算例验证了求解器的有效性和可靠性。仿真结果表明，该求解器能够准确捕捉结构的非线性动态响应，具有较好的收敛性和精度，且在较大的时间步长下仍能保持稳定。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 易晋生,顾安邦,王小松.基于MATLAB的公路桥梁车桥耦合数值计算方法[J].重庆交通大学学报：自然科学版, 2012(6):5.DOI:10.3969/j.issn.1674-0696.2012.06.01.

[2] 孟韬.基于MATLAB的Newmark-β动力反应数值分析法的精度稳定性分析[J].金色年华:下, 2010.

[3] 傅博,蒋欢军.使用基于模型的积分算法的钢框架非线性时程分析[J].土木工程学报, 2018(A01):7.DOI:CNKI:SUN:TMGC.0.2018-S1-010.

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