详解DeepSDF: Learning Continuous Signed Distance Functions for Shape Representation

• Reference: Park J J, Florence P, Straub J, et al. Deepsdf: Learning continuous signed distance functions for shape representation[C]//Proceedings of the IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. 2019: 165-174.

• Key idea: 让decoder学习函数SDF，如果点x在图形内，则SDF(x)<0；在边界上，SDF(x)=0；在图形外，SDF(x)>0

• loss function for learning SDF：L1距离

  $\mathcal{L}\left(f_{\theta }(\mathbf{x}),s\right)=\left|\mathrm{clamp}\left(f_{\theta }(\mathbf{x}),\delta \right)-\mathrm{clamp}(s,\delta )\right|$，较小的 $\delta$ 使得网络更注重于物体表面的细节

• 上述方法只能让网络学习到一个图形的SDF，为了让网络可用于多个图形，在输入中加入图形的编码（Learning the Latent Space of Shapes），即下图中的code，作为decoder的输入的一部分，让decoder知道当前输入了什么形状

• 此时decoder的数学表示变为：

  $f_{\theta }\left({\mathbf{z}}_i,\mathbf{x}\right)\approx SD{F}^i(\mathbf{x})$

  $z_i$ 是当前形状的编码，x是位置坐标

• 因此，在原有模型的基础上，z成为了另一个需要学习得到的参数。最直觉的做法是使用一个AE模型，但是作者指出：1）训练一个encoder需要消耗大量的资源；2）对于不同的3d输入(points, mesh, etc.)，都需要不同的的encoder。所以提出了一种只用decoder的模型(auto-decoder 自动解码机)。

• ☆ 得到code $z_i$ 的方法：

  • Notations: Dataset contains $N$ shapes, 对于每个shape，都有一个对应的SDF，因此将SDF表示为 $SD{F}_{i=1}^{i^N}$ 。每个图形都包含 $K$ 个点，每个点可以表示为一个坐标和sdf值的元组，即 $X_i=\left\{\left({\mathbf{x}}_j,s_j\right):s_j=SD{F}^i\left({\mathbf{x}}_j\right)\right\}$

  • 假设先验概率 $p(z_i)$ 是一个标准正态分布，均值为0，方差为 $\sigma I$。先随便给一个，后期再学习。论文中使用的参数为 $\mathcal{N}\left(0,0.01^2\right)$。（不太懂为啥要这么做，可能是作者受到VAE的启发，loss中方差的作用仅仅体现在限制z的二范数不能太大）

  • Loss for training: 后验概率可以表示为 $p_{\theta }\left({\mathbf{z}}_i\mid X_i\right)=p\left({\mathbf{z}}_i\right){\prod }_{\left({\mathbf{x}}_j,{\mathbf{s}}_j\right)\in X_i}{p}_{\theta }\left({\mathbf{s}}_j\mid z_i;{\mathbf{x}}_j\right)$

  • 需要最大化后验概率，为了简化计算取对数，即

    arg⁡max⁡θ,{zi}i=1N∑i=1Nlog⁡(p(zi))+∑j=1Klog(pθ(sj∣zi;xj) \underset{\theta,\left\{\boldsymbol{z}_{i}\right\}_{i=1}^{N}}{\arg \max } \sum_{i=1}^{N} \log(p(z_i)) + \sum_{j=1}^{K} log(p_{\theta}\left(\boldsymbol{s}_{j} \mid z_{i} ; \boldsymbol{x}_{j}\right) θ,{zi​}i=1N​argmax​i=1∑N​log(p(zi​))+j=1∑K​log(pθ​(sj​∣zi​;xj​)

    • $\log (p(z_i))=\log (\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma })+(-\frac{{\Vert {\mathbf{z}}_i\Vert }_2^2}{2{\sigma }^2})$，当 $\sigma$ 的值很小时，$\log (\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma })$ 的值太大，不利于学习，直接忽略。系数 $\frac{1}{2}$ 也可以忽略。

    • $log(p_{\theta }\left({\mathbf{s}}_j\mid z_i;{\mathbf{x}}_j\right)=-\mathcal{L}\left(f_{\theta }({\mathbf{z}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}),s_i\right)$

    • 因此，loss function可以变形为

      arg⁡min⁡θ,{zi}i=1N∑i=1N(∑j=1KL(fθ(zi,xj),sj)+1σ2∥zi∥22) \underset{\theta,\left\{\boldsymbol{z}_{i}\right\}_{i=1}^{N}}{\arg \min } \sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^{K} \mathcal{L}\left(f_{\theta}\left(\boldsymbol{z}_{i}, \boldsymbol{x}_{j}\right), s_{j}\right)+\frac{1}{\sigma^{2}}\left\|\boldsymbol{z}_{i}\right\|_{2}^{2}\right) θ,{zi​}i=1N​argmin​i=1∑N​(j=1∑K​L(fθ​(zi​,xj​),sj​)+σ21​∥zi​∥22​)

• 在Inference时，$z_i$ 还需要经过计算才能得到（在训练后，固定网络参数 $\theta$）。因为这是一个补全任务，所以输入为已知点，求基于已知点最相似的shape code：

  $$\hat{\mathbf{z}}=\underset{\mathbf{z}}{\mathrm{argmin}}\sum _{\left({\mathbf{x}}_j,{\mathbf{s}}_j\right)\in X}\mathcal{L}\left(f_{\theta }\left(\mathbf{z},{\mathbf{x}}_j\right),s_j\right)+\frac{1}{{\sigma }^2}\Vert \mathbf{z}{\Vert }_2^2.$$

• 这个模型的优点：valid for SDF samples X of arbitrary size and distribution

• 缺点: 在预测的过程中还包含一个求z的过程，比端到端的模型速度慢。

• 最终模型：