N个数依次入栈，出栈顺序有多少种？

 一、N个数依次入栈，出栈顺序有多少种？

我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

                                     f(1) = 1     //即 1

                                     f(2) = 2     //即 12、21

                                     f(3) = 5     //即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：

 1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

 2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)，根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；

 3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；

 4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即f(3)；结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即：

 

       但这只是一个递推公式（若编程实现，需要维护一个一维数组，时间复杂度为O(n^2)）。怎么把它转化为通项公式呢，复杂度仅为O(1)?

       有这么一个公式：C(2n,n)/(n+1) （C(2n,n)表示2n里取n），并且有个名字叫Catalan数。

 二、Catalan数

1、是什么？

      卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 
      1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796,  58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

2、 计算公式

卡特兰数一般的计算公式： 
另类递推公式：C(n)=C(n-1)*((4*n-2)/(n+1));
Cn的另一个表达形式为 
所以，Cn是一个自然数，这一点在先前的通项公式中并不显而易见。 
这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。

3、一般性质

卡塔兰数满足以下递推关系 

它也满足 
 
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为 
它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2^k − 1。 
所有其他的卡塔兰数都是偶数。
 

4、实际问题的解决

经典问题：

给出一个n，要求一个长度为2n的01序列，使得序列的任意前缀中1的个数不少于0的个数， 
以下为长度为6的序列: 
111000 101100 101010 110010 110100 

证明：

       令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位，含n个1，n个0的二进制数， 满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数 。显然含n个1，n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目。
       考虑一个含n个1，n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况）， 
则后面的01排列中必有n-m个1和n-m-1个0 
将2m+2及其以后的部分0变成1，1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数 
反之亦然（相似的思路证明两者一一对应） 

从而 

Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数 

Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树）。Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数 。
一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右 ，计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数（同问题1）： X代表“向右”，Y代表“向上” 

Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数 
下图中为n = 4的情况： 

Cn表示对{1, …, n}依序进出栈的置换个数 。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, …, n), 
其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列 。再令S(w) =S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。

Cn表示集合{1, …, n}的不交叉划分的个数. 其中每个段落的长度为2。Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数 。下图为 n = 4的情况: 

5、总结最典型的四类应用：
（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）

（1）括号化问题。

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

（2）出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 　 

//模拟过程如下，dfs来填充入栈和出栈的标志
#include<iostream> 
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<stack>
#define N 100
using namespace std;

int a[N];
int p[2*N];
int pre[2*N];
int used[2*N];
int index[2*N];//如果a[i]==1，那么表示第index[i]个数入栈 
int n;
int cnt;//记录多少个出栈的序列 

int C(int n){
    int ans=1;
    int m = 2*n;
    int nn = n;
    for(int i=1; i<=n; ++i){
        ans *= m--;
        ans /= i;
    }
    return ans/(nn+1);
}

void solve(){
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    memset(used, 0, sizeof(used));
    int prek = 0;
    for(int i=1; i<=2*n; ++i){
        if(a[i] == 1){
            pre[i] = prek;
            prek = i;
        } else {
            int ii = prek;
            while(used[ii]) 
                ii = pre[ii];
            cout<<p[index[ii]]<<" ";//出栈 
            used[ii] = 1;
            pre[prek] = pre[ii];
        }
    }
    cout<<endl;
}

void solve1(){
    stack<int>s;
    int k=1;
    for(int i=1; i<=2*n; ++i){
        if(a[i] == 1)
            s.push(p[k++]);
        else {
            cout<<s.top()<<" ";
            s.pop();
        }
    }
    cout<<endl;
}

void dfs(int k, int cnt0, int cnt1){
    if(k>2*n){
        //solve(); 
        solve1(); 
        ++cnt; 
        return ;
    }
    if(cnt1<n){//入栈 
        a[k] = 1;
        index[k] = cnt1+1;//第几个数入栈 
        dfs(k+1, cnt0, cnt1+1);
    }
    if(cnt0<cnt1){//出栈 
        a[k] = 0;
        dfs(k+1, cnt0+1, cnt1);
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) 
        cin>>p[i];
    dfs(1, 0, 0);
    cout<<endl<<"模拟个数:"<<cnt<<endl;
    cout<<"公式个数:"<<C(n)<<endl;
    return 0;
}

　　类似： 
　　1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 　 

//  优快云.卡特兰数：售票序列问题

// n = 0 时，队列为空，可以认为只有一种；

// n = 1 时，队列：5 ，10  共有1种；

// n = 2 时 ，队列： 5， 10，5，10

//                         5，5，10，10   共有两种

// n = 3时， 队列：5，5，5，10，10，10

//                         5，5，10，5，10，10

//                         5，5，10，10，5，10

//                         5，10，5，5，10，10

//                         5，10，5，10，5，10    共有5种；

// 我门可以认为符合卡特兰数，1，1，2，5，14，42.。。

#include <iostream>

#include <vector>

#include <string>

using namespace std;


void genAns(int left, int right, string path, vector<string> &ans){

    if(left == 0 && right == 0){  //规则一

        path.pop_back(); 

        ans.push_back(path);

    }

    if(left != 0)                 //规则二

        genAns(left - 1, right, path + "5-", ans);

    if(right != 0 && left < right)      //规则三

        genAns(left, right - 1, path + "10-", ans);

}


int main(int argc, const char * argv[]) {

    // insert code here...

    int n;

    while(cin>>n){

        string path;

        vector<string> ans;

        genAns(n, n, path, ans);

        for(int i = 0; i < ans.size(); i++)

            std::cout << ans[i] <<endl;

        cout<<"count: "<<ans.size()<<endl;

    }

    return 0;

}

      2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。 

（3）将多边行划分为三角形问题

  将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 
　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？ 
　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 

import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		int n,t;
		int i;
		BigInteger x,y;
		Scanner in=new Scanner(System.in);
		BigInteger []a=new BigInteger[110];
		a[0]=BigInteger.valueOf(1);
		a[1]=BigInteger.valueOf(1);
		
		for(i=2;i<101;i++) {
			x=a[i-1];
			x=x.multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2));
			y=x.divide(BigInteger.valueOf(i+1));
			a[i]=y;
		}
		
		while(in.hasNext()) {
			n=in.nextInt();
			if(n==-1)
				break;
			System.out.println(a[n]);
		}
	}
	 
}

 

（4）给顶节点组成二叉树的问题。 

       给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？ 
　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +…+ h(n-1)h(0)=h(n)（能构成h(N)个）

import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		int n,t;
		int i;
		BigInteger x,y;
		Scanner in=new Scanner(System.in);
		BigInteger []a=new BigInteger[110];
		a[0]=BigInteger.valueOf(1);
		a[1]=BigInteger.valueOf(1);
		
		for(i=2;i<101;i++) {
			x=a[i-1];
			x=x.multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2));
			y=x.divide(BigInteger.valueOf(i+1));
			a[i]=y;
		}
		
		while(in.hasNext()) {
			n=in.nextInt();
			System.out.println(a[n]);
		}
	}	
 
}