01背包问题详解

原创已于 2023-04-13 21:07:43 修改 · 389 阅读

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#算法 #c++ #动态规划

于 2023-04-13 21:05:25 首次发布

01背包

有N件物品和一个最多能装重量为W的背包。每件物品都有对应的重量和价值。求将哪些物品装入背包才能使总价值最大。

二维DP数组

1、确定DP数组

我们用二维数组来求解这个问题。DP[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取物品，放进容量为j的背包里面，价值总和为多少。（这个定义很重要）

2、确定递推公式

我们DP数组的定义是什么？DP[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取物品，放进容量为j的背包里面，价值总和为多少。那么我们怎么推出这个DP[i][j]呢？当我们拿到第i件物品的时候，我们必须要考虑放和不放的问题，如果不放，那么背包的容量以及价值就和第i-1件物品的时候一致，没有变化，也就是DP[i][j] = DP[i - 1][[j]；如果放，那么背包的容量会减少至j - weight[i]，我们先把物品i单独拿出来，但是在背包中给物品i留足空间，此时背包的价值就是DP[i - 1][j-weight[i]]，然后我们再把物品i放进去，因为我们已经给它提前留足的空间，所以当我们再放物品i的时候，只需要考虑将物品i的价值加到背包的总价值当中，也就是DP[i - 1][j-weight[i]] + value[i]。此时我们就该考虑最初的问题，放还是不放，怎么选择？当然是哪种价值更高就选择哪种，所以最后DP[i][j] = max(DP[i - 1][j-weight[i]] + value[i], DP[i - 1][[j])

所以我们可以由两个方向推出这个DP[i][j]：

(1) DP[i- 1][j]，也就是正上方

（2） DP[i - 1][j-weight[i]]，也就是左上方

因此我们只需要初始化数组第一行和第一列的值，就可以根据递推公式求出整个数组的值，而最大价值自然也就在整个数组的最右下角即最后一个元素。

3、初始化数组

上面我们说了，只需要初始化数组第一行和第一列的值。第一列，当背包承受的最大重量为0的时候，最大价值是多少，不用想了，能承受最大重量为0，那什么也装不下，所以第一列的值全为0

然后就是第一行的值，第一个还是为0，已经初始化好了，然后我们假设物品1的重量为1，价值为10，那么第一行除了第一个元素就全部初始化为10

但是如果物品1的重量为2，价值为10，那么在1这个位置，我们也要初始化为0，因为根本放不进去。然后其他位置我们初始化值应该为多少呢？其实为多少都无所谓，因为我们的递推公式是会直接将这些位置的值覆盖，不会进行比较，所以你愿意设置多少都可以，我们一般默认为0。

说了这么多，应该理解我们要怎么初始化了吧，不理解也没关系，其实我们直接全部初始化为0就可以了，因为我们的递推公式DP[i][j] = max(DP[i - 1][j-weight[i]] + value[i], DP[i - 1][[j])，就算第一行全部为0，在遍历的时候也会被加上value[i]的值然后把0覆盖。那我为什么还要讲这么多，因为我们要理解这个递推公式。

4、遍历数组

当我们开始遍历数组的时候，就会有一个问题，我们是从物品开始遍历还是从背包重量开始遍历。其实都是在01背包问题中，这两种顺序都是可行的，原因就在递推公式中，留给读者自行探索。这里我们就先遍历物品，再遍历背包重量。

for (int i = 1; i <= n; i++)    // n表示物品的种类
		for (int j = 0; j <= t; j++)    // t表示背包的最大容量
			if (j >= weight[i])
				DP[i][j] = max(DP[i - 1][j - weight[i]] + value[i], DP[i - 1][j]);
			else
				DP[i][j] = DP[i - 1][j];

5、推导DP数组

这里就不一一推导了，因为我们在前面已经分析清楚了，数组的最后一个元素就是我们要求的最大价值也就是DP[n][t]，注意，我是从1号位开始存储而非0号位，读者自行推理。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
// weight数组用来存放物品重量，value数组用来记录物品对应的价值
// 数组的大小视情况而定
int DP[105][1005], weight[105], value[105];

int main()
{
	int t, n;
	cin >> t >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> weight[i] >> value[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j <= t; j++)
			if (j >= weight[i])
				DP[i][j] = max(DP[i - 1][j - weight[i]] + value[i], DP[i - 1][j]);
			else
				DP[i][j] = DP[i - 1][j];
	cout << DP[n][t];
	return 0;
}