2018QBXT刷题游记（2）

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本文深入解析了2018QBXT竞赛中一道关于排列波动的数学问题，采用动态规划方法，结合离散化思想，通过枚举最大数位置，计算满足条件的排列数量，并给出完整代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【2018QBXT刷题游记】

Day1 TEST1

T2 irrev

【题目大意】求有多少 1~n 的排列满足：这个排列是波动的。
用 a[i]表示排列中的第 i 个数，波动的意思是，对任意 1<=i<=n-2，
若 a[i]<a[i+1]，则 a[i+1]>a[i+2]
若 a[i]>a[i+1]，则 a[i+1]<a[i+2]
答案对 m 取模

n<=1000, m<=10^{9}

【思路】 dp思想，令f[i]表示i的全排列中满足a1>a2的排列。（由于对称性，只记先减后增或先增后减都可，最后不要忘了*2）考虑i（最大的数）的位置，枚举k=1~i。（因为规定先减后增，所以只枚举k是奇数的位置即可）
因此，i的左边和右边都成了小于i的若干个数的排列，结合离散化思想，左右数的分布是任意的，所以乘C（i-1,k-1）即可。
（个人理解）选取最大值的意义：在考虑其左右值时，不存在不合理解。

100分代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define ll long long
int C[MAXN][MAXN];
int n,MOD,dp[MAXN];
void init(){
	for(int i=0;i<=n;i++){
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
	}
}
int ch(int a,int b,int c){
	ll tmp=a;
	tmp=tmp*b%MOD;
	tmp=tmp*c%MOD;
	a=tmp;
	return a;
}

int main(){
	freopen("irrev.in","r",stdin);
	freopen("irrev.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&MOD);
	init();
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	dp[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j+=2){
			dp[i]=(dp[i]+ch(C[i-1][j-1],dp[j-1],dp[i-j]))%MOD;
		}
	}
	dp[n]=dp[n]*2%MOD;
	cout<<dp[n]<<endl;
	
	return 0;
}