全面理解动态规划的背包问题_背包问题重要吗-优快云博客

引言：

背包问题始终贯穿着学习算法的全过程，学会并且能够学以致用背包问题尤为重要。

问题描述：

给定n个物品的重量及效益，给定背包的容量。求背包能装的最大效益值，及最大效益值时装入背包的物品编号。

题解：

dp[i][j] i表示考虑前i个物品，j代表当前背包的容量为j。所以如果当前背包不能装下第i个物品，那么dp[i][j]=dp[i-1][j],说明背包容量为j时，考虑前i个物品和考虑前i-1个物品的最大效益值相同（因为当前背包装不下第i个物品），反之，如果当前背包能装下第i个物品，那么就要考虑要不要装入物品i（即装入物品i会不会是背包的最大效益值增加）。如果wealth[i-1]+dp[i-1][j-weight[i-1]]大于dp[i-1][j]，说明装入该物品能使背包的效益值变大，则装入该物品；反之则装入该物品不能是背包的效益值变大，所以就不装该物品。由此递推，则dp[dp.size()-1][dp[0].size()-1]就是当前背包容量为dp[0].size()-1，考虑前dp.size()-1个物品的背包最大效益值。

要想知道该物品是否在背包效益值最大的时候装入背包，就要明白上面的递推公式，如果该物品没装入背包，则dp[i][j]=dp[i-1][j]，反之，则该物品装入背包。然后再缩小背包容量或物品考虑的规模（即前n个物品，逐步缩小n），直到n=0或背包的剩余容量为0.

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
/*
物品的重量下标从0开始，即weight[0]是编号为1物品的重量
物品的效益下标从0开始，即wealth[0]是编号为1物品的效益
*/
int Max(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}
int max_benefit(vector<vector<int> > &dp,vector<int> weight,vector<int> wealth)//找到最大效益值 
{
	int i,j;
	for(i=0;i<dp.size();i++)
	{
		for(j=0;j<dp[0].size();j++)
		{
			if(i==0||j==0)
			{
				dp[i][j]=0;
				cout<<dp[i][j]<<"\t";
				continue;
			}
			int max=0;
			if(j<weight[i-1])//容量为j不能装下第i个物品 
			{
				dp[i][j]=dp[i-1][j]; 
			}
			else
			{
				dp[i][j]=Max(dp[i-1][j],wealth[i-1]+dp[i-1][j-weight[i-1]]);
			}
			cout<<dp[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}
	return dp[dp.size()-1][dp[0].size()-1]; 
}
vector<int> Find(vector<vector<int> > dp,vector<int> weight)//找到最大效益值时物品的编号 
{
	int i,j;
	vector<int> res;
	i=dp.size()-1;
	j=dp[0].size()-1; 
	while(i>0&&j>0)
	{
		if(dp[i][j]!=dp[i-1][j])//编号i的物品在背包里 
		{
			res.push_back(i);
			j=j-weight[i-1]; 
			i=i-1;
		}
		else
		{
			i--;
		}
	}
	return res;	
}
int main()
{
	int n,i,j,capacity;
	cout<<"请输入物品的数量"<<endl;
	cin>>n;
	cout<<"请输入背包的容量"<<endl;
	cin>>capacity; 
	vector<int> weight(n);
	vector<int> wealth(n);
	vector<int> res;
	cout<<"请输入n个物品的重量"<<endl;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>weight[i];
	}
	cout<<"请输入n个物品的价值"<<endl;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>wealth[i];
	}
	vector<vector<int> > dp;
	for(i=0;i<n+1;i++)
	{
		vector<int> temp(capacity+1,0);
		dp.push_back(temp);
	}
	cout<<"最大的效益是"<<max_benefit(dp,weight,wealth)<<endl;
	res=Find(dp,weight);
	cout<<"最大效益值时装入物品的编号"<<endl; 
	for(i=res.size()-1;i>=0;i--)
	{
		cout<<res[i]<<"\t";
	}
	cout<<endl;
	return 0;
}