统计学习方法的基本概念

李航《统计学习方法》读书笔记

一、理论知识

定义
统计学习是关于计算机基于数据构建 概率统计模型 并运用模型对数据进行预测与分析的一门学科，也称为统计机器学习。

• 可以用随机变量描述数据中的特征，用概率分布描述数据的统计规律。
• 现在普遍提及的机器学习，往往是指统计机器学习。统计学习由监督学习、非监督学习、半监督学习和强化学习等组成。
  • 监督学习：从标注数据中学习
  • 非监督学习：从无标注数据中学习
  • 半监督学习：少量标注数据+大量未标注数据
  • 强化学习：在智能系统与环境的连续互动中学习

特点

• 统计学习的对象是数据，是数据驱动的学科。
• 统计学习的目的是对数据进行预测与分析。
• 统计学习以方法为中心，统计学习方法构建模型并应用模型进行预测与分析。

统计学习方法三要素
方法=模型+策略+算法，构建一种统计学习方法就是确定具体的统计学习三要素。
实现统计学习方法的步骤如下：
（1）得到一个有限的训练数据集合；
（2）确定包含所有可能的模型的假设空间，即学习模型的集合；——决策函数 / 条件概率
（3）确定模型选择的准则，即学习的策略；——经验风险最小化 / 结构风险最小化
（4）实现求解最优模型的算法，即学习的算法；——数值计算方法
（5）通过学习方法选择最优模型；
（6）利用学习的最优模型对新数据进行预测或分析。

输入空间： 在监督学习中，将输入所有可能取值的集合称为输入空间。
输出空间： 在监督学习中，将输出所有可能取值的集合称为输出空间。
特征空间： 每个具体的输入是一个实例，通常由特征向量表示；所有特征向量存在的空间称为特征空间，特征空间的每一维对应于一个特征。
模型： 由输入空间到输出空间的映射。
假设空间： 映射的集合。

损失函数（代价函数）： 预测错误程度的度量。
风险函数（期望损失）： 模型关于联合分布的平均损失。
经验风险（经验损失）： 模型关于训练样本集的平均损失。

• 损失函数度量模型一次预测的好坏
• 风险函数度量平均意义下模型预测的好坏

过拟合： 指学习时选择的模型所包含的参数过多，以至出现这一模型对已知数据预测得很好，但对未知数据预测得很差的现象。

模型选择的方法

• 正则化：在经验风险上加一个正则化项，如$L1、L2$范数。
  • 正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数
  • 正则化等价于结构风险最小化
• 交叉验证：重复地使用数据；把给定的数据进行切分，将切分的数据集组合为训练集与测试集，在此基础上反复地进行训练、测试以及模型选择。
  • 简单交叉验证
  • S折交叉验证
  • 留一交叉验证

监督学习方法分类

• 生成方法：先由数据学习联合概率分布，再求出条件概率分布作为预测的模型——生成模型
  • 可以还原出联合概率分布$P(X,Y)$ ，判别方法不能
  • 学习收敛速度更快，即样本容量增加时，生成模型可以可以更快地收敛于真实模型
  • 适用于存在隐变量的情况，判别方法不能
• 判别方法：由数据直接学习决策函数或者条件概率分布作为预测的模型
  • 直接面对预测，学习的准确率更高
  • 可以简化学习问题，对数据进行各种程度上的抽象、定义特征并使用特征

监督学习的应用

• 分类问题：输出变量为有限个离散变量的预测问题。
  • 输出为类别
• 标注问题：输入变量与输出变量均为变量序列的预测问题。
  • 输出为一个标记序列或状态序列——添加了标注的输入序列
• 回归问题：输入变量与输出变量均为连续变量的预测问题。
  • 函数拟合，输出为与$x$值相对应的$y$值

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二、数学表达

训练集：T={(x1,y1),(x2,y2),⋅⋅⋅,(xN,yN)}T=\left\{ (x_1,y_1), (x_2,y_2), ···, (x_N,y_N) \right\}T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),⋅⋅⋅,(xN​,yN​)}

统计学习常用的损失函数：
（1）0-1损失函数
$$L(Y,f(X))=\{\begin{array}{rc}1,& Y≠f(X)\\ 0,& Y=f(X)\end{array}$$
（2）平方损失函数
$$L(Y,f(X))=(Y-f(X){)}^2$$
（3）绝对损失函数
$$L(Y,f(X))=|Y-f(X)|$$
（4）对数损失函数
$$L(Y,P(Y|X))=-logP(Y|X)$$

风险函数：
$$R_{exp}(f)=E_P[L(Y,f(X))]={\int }_{X\times Y}L(y,f(x))P(x,y)dxdy$$

经验风险：
$$R_{emp}(f)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))$$

结构风险：
$$R_{srm}(f)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$$