最大子段和

问题： 给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为 负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为： Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n 例如，当（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。

1、最大子段和问题的简单算法

首先介绍的算法是大家最容易想到的算法    暴力求解   三层循环    第一层循环便是开头元素      第二层循环表示结尾元素    第三层循环求开头和结尾元素间值的和   

代码如下：

int MaxSum(int n,int a[],int &left,int &right) {  
    int sum=0;  
    for (int i=0;i<n;i++){  
        for (int j=i;j<n;j++){  
            int tempsum=0;  
            for (int k=i;k<=j;k++){  
                tempsum+=a[k];  
            }  
              
            if (tempsum>sum){  
                sum=tempsum;  
                left=i;//      开头  
                right=j;//      结尾  
            }  
        }  
    }  
    return sum;  

2、第二种算法是在第一种算法的基础上进行改进的   结果是将第三层循环给省略掉了  我们知道开头和结尾其实并不需要每次都要重新将元素从开头加到结尾   我们只需要从开头开始  每加一个元素都和之前求得的最大值比较  如果加上这个元素之后的和大于之前的最大值  那就更新最大值、开头和结尾元素的下标

代码如下：

int MaxSum(int n,int a[],int &left,int &right){  
    int sum=0;  
    for (int i=0;i<n;i++){  
        int tempsum=0;  
        for (int j=i;j<n;j++){  
            tempsum+=a[j];  
            if (tempsum>sum){  
                sum=tempsum;  
                left=i;//    开头   
                right=j;//    结尾   
            }  
        }  
    }  
    return sum;  
}  

3、我们往往希望能够找到解决问题更快得方法  无论是三层循环还是两层循环   在大数据得情况下  都显得很吃力   所以第三种给出动态规划算法

动态规划算法和第二种算法有一点点的相同的地方就是每次得到的值都和之前的最大值进行比较  大于就更新   它的不同在于  只需要一层循环  具体思想是：从序列的第一个元素（开头）开始加起  当和不小于零时我们就有可能在加上下一个元素之后得到的和比之前的和都要大  但是当我们加上一个元素之后 和小于零了  那么这个子序列就到此为止了  因为就算它在加上后面的一个值之后大于原先的最大值那么它也不是最大子段和了（一个正数加上一个负数是要变小的嘛）  那么我们就从这个元素的下一个元素（新的开头）开始往后加重新找  依次类推 便可找到最大子段和的值   

代码如下：

int MaxSum(int n,int a[]){  
    int sum=0,tempsum=0;  
    for (int i=0;i<n;i++){  
        if (tempsum>0)  
            tempsum+=a[i];  
        else  
            tempsum=a[i];  
              
        if (tempsum>sum){  
            sum=tempsum;  
        }  
    }  
    return sum;  
}   

关于动态规划的算法  我们该怎么输入这个最大子段和呢   其实很简单   我们只需要记住最大子段和的末尾元素的下标  然后依次往回减便可得到开头元素     下面两个简单的例子:

HDU1003           http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003

AC代码：

#include <stdio.h>  
int main (){  
    __int64 num[100005];  
    __int64 dp[100005];  
    int T;  
    scanf ("%d",&T);  
    int count=0;  
    while (T--){  
        int n;  
        int left=0,right=0;  
        __int64 max;  
          
          
        if (count)  
            printf ("\n");  
              
              
        scanf ("%d",&n);  
        for (int i=0;i<n;i++){  
            scanf ("%I64d",&num[i]);  
        }  
          
        max=dp[0]=num[0];  
          
        for ( int i=1;i<n;i++){  
              
            if (dp[i-1]>=0){  
                dp[i]=dp[i-1]+num[i];  
            }  
            else {  
                dp[i]=num[i];  
  
            }  
              
            if (dp[i]>max){  
                right=i;  
                max=dp[i];  
            }   
        }      
        __int64 c=0;  
        left=right;      
        for (int i=right;i>=0;i--){  
            c+=num[i];  
            if (c==max){  
                left=i;  
            }  
        }      
        printf ("Case %d:\n",count+1);  
        printf ("%I64d %d %d\n",max,left+1,right+1);  
        count++;  
    }  
      
    return 0;  
}   

HDU1231        http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1231

AC代码：

#include <stdio.h>  
#include <string.h>  
int num[10010];  
int main (){  
    int n;  
    while (scanf("%d",&n)&&n){  
        memset(num,0,sizeof(num));  
        int flag=0;  
        for (int i=0;i<n;i++){  
            scanf ("%d",&num[i]);  
            if (num[i]>=0){  
                flag=1;  
            }  
              
        }  
        if (!flag){  
            printf ("0 %d %d\n",num[0],num[n-1]);  
        }  
        else{  
            int b=0;  
        int sum=-1;  
        int left=0,right=0;  
        for (int i=0;i<n;i++){  
            if (b>0)  
                b+=num[i];  
            else{  
                b=num[i];  
            }  
              
            if (b>sum){  
                left=left;  
                right=i;  
                sum=b;  
            }  
        }   
        int x=sum;  
          
        for (int i=right;i>=0;i--){  
            sum-=num[i];  
            if (sum==0){  
                left=i;  
                break;  
            }  
        }  
        printf ("%d %d %d\n",x,num[left],num[right]);  
        }  
          
    }  
    return 0;  
}