剑指Offer面试题32：从1到n整数中1出现的次数

题目：
输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11,12,1一共出现了5次

思路一：最直白但是时间复杂度高的解法
依次累加1到n中每个整数1出现的次数。每次可以通过对10求余数判断整数的个位数是不是1

    public int NumberOf1Between1AndN(int n) {
        int sumCnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n ; i++) {
            sumCnt += NumbersOf1(i);
        }
        return sumCnt;
    }
    private int NumbersOf1(int num) {
        int cnt = 0;
        while (num != 0){
            if (num % 10 == 1)
                cnt++;
            num /= 10;
        }
        return cnt;
    }

总结：如果输入数字n，n有logn位，需要判断每一位是不是 1，那么它的时间复杂度是O(n * logn)
思路二：摘自牛客网友解答，打死我也想不出来的解法，很巧妙很清晰，分析很强势

设N = abcde ,其中abcde分别为十进制中各位上的数字。
如果要计算百位上1出现的次数，它要受到3方面的影响：百位上的数字，百位以下（低位）的数字，百位以上（高位）的数字。
① 如果百位上数字为0，百位上可能出现1的次数由更高位决定。比如：12013，则可以知道百位出现1的情况可能是：100~199，1100~1199,2100~2199，，…，11100~11199，一共1200个。可以看出是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。
② 如果百位上数字为1，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响。比如：12113，则可以知道百位受高位影响出现的情况是：100~199，1100~1199,2100~2199，，….，11100~11199，一共1200个。和上面情况一样，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。但同时它还受低位影响，百位出现1的情况是：12100~12113,一共114个，等于低位数字（113）+1。
③ 如果百位上数字大于1（2~9），则百位上出现1的情况仅由更高位决定，比如12213，则百位出现1的情况是：100~199,1100~1199，2100~2199，…，11100~11199,12100~12199,一共有1300个，并且等于更高位数字+1（12+1）乘以当前位数（100）。

    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n){
        int cnt = 0;  //1的个数
        int current = 0,before = 0,after = 0;
        int i = 1;
        while (n/i != 0){
            current = (n/i)%10;      //当前位
            before = n/(i*10);       //高位数字
            after = n - (n/i) * i;   //低位数字
            if (current == 0){
                cnt += before * i;
            }else if (current == 1){
                cnt += before * i + after + 1;
            }else{
                cnt += (before + 1) * i;
            }
            i *= 10;
        }
        return cnt;
    }

总结：时间复杂度为O(logn)