第三十六天：其实它们都是“图”-优快云博客

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本文介绍了图的基本概念，包括无向图和有向图，以及图的两种存储方式——邻接矩阵和邻接表。重点讲解了二分图的判定算法，通过深度优先搜索实现，确保相邻顶点颜色不同。此外，还探讨了图着色问题，提供了一个完整的二分图染色问题解决方案。这些图论思想在数学建模、物流管理等领域有着广泛应用。

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今天我们来聊一聊图。（开始爆更）

这里写目录标题

图是什么？

图是由顶点（vertex、node）和边（edge）组成。顶点的集合是V，边的集合是E，图记为：G=(V,E)。
图分为无向图和有向图两种，在无向图中两个相连的顶点权值应该是只有一个，对于有向图来说，不同方向的权值是不同的，因此就需要用不同的数据存储他们。

图的存储方式

图有两种存储方式，邻接矩阵和邻接表，两者都有优点和缺点。
1.邻接矩阵:
d[i][j]表示的是从i顶点到j顶点的距离，显然自己到本身的距离为0，在无向图中这是一个对称的矩阵

d[i][j]==d[j][i];
d[i][i]==0;

在有向图中，可能不是对称的矩阵，空间的存储花费O(V^2)的空间，不利于稀疏图的存储。这个时候就需要用到邻接表来存储提高空间的利用率。

同时，当出现重边（两个顶点有两条通向的边）或者自环的时候，这个时候也需要用邻接表来存储，当然邻接表的复杂度也相对较高。
2.邻接表：
知识把仅有的边和顶点保存起来，那么空间复杂度就是O（V+E）
那邻接表的缺点是什么呢？就是比邻接矩阵相对复杂，并且如果想要查询两点间是否有边的时候需要遍历整个链表才可以。

邻接表的存储方式

其实方式很多，我比较喜欢用vector

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAX_N=1e5;

vector<int> G[MAX_N];
int mian()
{
    int V,E;
    cin>>V>>E;
    for (int i = 0; i < E; i++)
    {
        int s,t;
        cin>>s>>t;
        G[s].push_back(t);

    }
    return 0;
}

例题：二分图的判定

给定一个具有n个顶点图，要给每个顶点上色，并且要使得相邻的顶点颜色不同。时否能够最多用两种颜色进行染色，保证没有重边和自环。
1<=n<=1000

图着色问题：

相邻顶点染成不同颜色的问题叫做图着色问题。对图进行染色所需要的最小颜色数称为最小着色数。最小着色数是2的图叫做2分图。

对于这道题来说，一旦从某一个顶点出发，将它染成一种颜色，那么相邻的顶点颜色一定是确定的，如果已经涂成了相同的颜色就直接返回false，如果还没有涂色那么就从这个为涂色再出发，先给它涂上另一种颜色再从该点出发去搜索不停地重复这一过程。

初始化

我们需要保存图

const int M=1e3+3;
vector<int> G[M];

输入是点数和边数

int V,E；

我们还需要判断顶点是否染色，我们不需要再开一个数组判断是否可以染色，一开始初始化成0，代表未染色，染色就变成1.这里有一个小技巧，另一种颜色我们如何表示呢？
其实只有两种颜色嘛，可以用1和-1表示最方便，方便查找。搜索参数第一个应该是顶点的编号，还需要该点的涂的颜色，因此用1和-1这样的表示方法最方便

int color[M];

搜索

bool dfs(int v,int c)
{
    color[v]=c;//未染色直接染成c
    for (int i = 0; i < G[v].size(); i++)
    {
        if(G[v][i] == c) return false;//同色就说明一定不能成功的
        if(G[v][i] == 0 && !dfs(G[v][i],-c)) return false;//没有涂色，就从这个点开始找
    }
    return true;
}

完整实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int M=1e3+3;

vector<int>G[M];
int color[M];

bool dfs(int v,int c)
{
    color[v]=c;
    for (int i = 0; i < G[v].size(); i++)
    {
        if(G[v][i] == c) return false;
        if(G[v][i] == 0 && !dfs(G[v][i],-c)) return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    int V,E;
    cin>>V>>E;
    for (int i = 0; i < E; i++)
    {
        int s,t;
        cin>>s>>t;
        G[s].push_back(t);
    }

    for (int i = 0; i < V; i++)
    {
        if(color[i] == 0)
        {
            if(!dfs(i,1))
            {
                cout<<"No"<<endl;
                return 0;
            }
        }
    }
    cout<<"Yes"<<endl;
    return 0;
}