快速排序 Implemented With C++

快速排序 Quick Sort

1. Definition

对冒泡排序进行的改进，贯彻的是一种分治的思想：随机设定输入序列中的一个元素为基准元素（pivot），通过一趟复杂度为 $O(n)$ 的排序操作，将序列分为以基准元素为分界的两部分，使得左边的所有元素的值都小于基准元素，右边所有的值都大于基准元素，这个过程就是一趟快速排序。不断重复这样的操作，直到当前部分为空或者只剩下一个元素，结束。
我们可以用一个递推表达式来表示这样的一个过程的复杂度：
$$T(n)=T(n/2)+n\text{\hspace{1em}(0)}$$
通过这个表达式，我们也可以推出，快速排序的时间复杂度是 $\mathbf{n}\log \mathbf{n}$ （即平均情况每次都将序列对分，且每趟进行对分都需要平均复杂度为 $O(n)$ ）

2. Implementation

这里我们简单让第一个元素作为每一趟的基准元素：

void quickSort(int L, int R, ElementType* elements){
	if(L >= R){
		return;
	}
	int pivot = L;
	for(int i = L; i < R; i++){
		if(elements[pivot] >= elements[i]){
			swap(pivot, i, elements);
			pivot++;
		}
	}
	swap(0, pivot - 1, elements);
	// left part
	quickSort(L, pivot - 1, elements);
	// right part
	quickSort(pivot + 1, R, elements);
}

3. Performance

快速排序的性能：

• 时间复杂度：平均为 $O(n\log n)$，最坏情况为 $O(n^2)$
• 空间复杂度：递归栈需要占据空间，平均为 $O(\log n)$，最坏情况为 $O(n)$，即 $n$ 此递归

4. 快速排序的缺点 Disadvantage

4.1 这是一个不稳定的排序算法

4.1.1 排序算法的稳定性

首先，一个稳定的排序算法应该保证：这个算法不会改变原来相同元素的相对次序。例如：一个序列 $1,2,5,2,6$，显然经过排序之后，序列肯定是 $1,2,2,5,6$。但是我们可以看到，这个序列中存在两个值为 $2$ 的元素，我们记第一个为 $2_1$，第二个为 $2_2$，那么，如果是一个稳定的算法，那这个算法肯定可以保证在排序之后的序列中，$2_1$ 始终在 $2_2$ 前面。这就是排序算法的稳定性。

4.1.2 快排的稳定性

现在我们再来看看快速排序的稳定性。很简单，还是上面的例子，假如我们选取这两个元素中的一个作为基准元素的时候，得到的两个结果中的 $2$ 的相对次序肯定是不同的，因为我们肯定会把另外一个元素划分到同一个部分中，而这样这两个过程得到的相对次序肯定是相反的，那么其中一个肯定与原来的相对次序不同，所以肯定是不稳定的。

4.2 算法难以保证平均复杂度

也就是：快速排序非常有可能退化成为一个冒泡排序，而显然这个时候的时间复杂度是 $O(n^2)$。
例如：当我们每次找到的基准元素的位置都是最后一个位置，也就是说，我们这一趟快速排序操作实际上就是把基准元素放到了序列的最后（也就是基准元素是最大的元素），显然，事实上这就是一个冒泡排序了。
优化方法：

• 随机选取基准元素（但是事实上还是有很大概率发生退化）
• 三分快排（这可能是最好的方法，三分快排将序列分为三部分：小于基准值，基准值，大于基准值这三部分，也就是说，三分快排不对基准值相同的这部分元素进行划分，而是单独放在中间，不改变其相对次序，这样就保证了当序列中存在较多相同值的元素时算法的稳定性）

5. 使用类似快速排序的思想

5.1 查找第 k 个最小的元素

可以使用类似快速排序的思想：因为快速排序每次将确定 pivot的位置，其实就是确定了最小的第 pivot 个元素，我们可以在每次划分完比较这个 pivot 和 k 的值：

• pivot == k，则这个划分标准值就是所求值
• pivot < k，则第k个元素在后面的子序列中，对子序列做相同的操作
• pivot > k，在前面的子序列中，对前面的子序列重复操作

最终，我们选取的这个标准值会收敛到 k，即找到我们所求的最小值