1696. 跳跃游戏 VI

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跳跃游戏最大得分 —— 动态规划与单调队列优化详解

跳跃游戏最大得分 —— 动态规划与单调队列优化详解

题目描述

给定一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个整数 k，你最初位于数组的第一个元素（下标为 0）。

每一步，你最多可以向前跳跃 k 步，但不能跳出数组边界。也就是说，从当前下标 i，你可以跳到区间 [i+1, min(n-1, i+k)] 中的任意位置。

你的目标是跳到数组的最后一个位置（下标为 n-1），并且你获得的分数是你经过的所有数字的和。

请返回你能获得的最大得分。

解题分析

这道题本质上是一个动态规划问题，我们要在满足跳跃范围的条件下，找到一条路径使得经过的元素和最大。

状态定义
设 dp[i] 表示跳到位置 i 时能获得的最大分数。
初始状态
dp[0] = nums[0]，因为起点就是数组的第一个元素。

状态转移
从 i 的前面 k 个位置中选一个能让 dp[j] 最大的跳跃过来，再加上 nums[i]。
即：

dp[i]=max⁡j∈[i−k,i−1]dp[j]+nums[i]dp[i] = \max_{j \in [i-k, i-1]} dp[j] + nums[i]
目标
求出 dp[n-1]，即跳到数组最后一个位置能获得的最大得分。

解题方法

1. 朴素动态规划

直接按照状态转移方程计算：

for i in range(1, n):
    dp[i] = max(dp[j] for j in range(i-k, i)) + nums[i]

时间复杂度：
每个 i 都要查询 k 个状态，整体复杂度为 O(n×k)O(n \times k)。
缺点：
当 n 和 k 都很大时，效率低下，无法通过大规模测试。

2. 单调队列优化

注意到在计算 dp[i] 时，我们只关心区间 [i-k, i-1] 内 dp[j] 的最大值。

使用一个双端队列 dq，存储下标，保证 dp[dq[0]] 是当前窗口最大值。
窗口向右滑动时，维护队列中元素的有效性（排除超过跳跃范围的下标）。
维护队列单调递减，使得队头永远是最大值的索引。

代码实现

from collections import deque

class Solution:
    def maxResult(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        dp = [0] * n
        dp[0] = nums[0]
        
        dq = deque([0])  # 存放索引，保持dp值单调递减
        
        for i in range(1, n):
            # 弹出不再窗口范围内的索引
            while dq and dq[0] < i - k:
                dq.popleft()
            
            # dp[i]由窗口最大dp值加nums[i]转移
            dp[i] = dp[dq[0]] + nums[i]
            
            # 维护单调递减队列
            while dq and dp[dq[-1]] <= dp[i]:
                dq.pop()
            
            dq.append(i)
        
        return dp[-1]

复杂度分析与对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	适用情况
朴素动态规划	O(n×k)O(n \times k)	O(n)O(n)	kk 和 nn 较小
单调队列优化	O(n)O(n)	O(n)O(n)	适用于大规模数据，效率高