前面已指出,当取得总体的样本后,通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断。为了实现推断的目的必须进一步确定相应的统计量所服从的分布。这样就有必要补充一些在本书概率论部分未曾提及,但在统计学中却经常用到的分布。
6.3.1 分位数
在统计推断中,经常用到统计分布的一类数字特征——分位数。在即将讨论一些常用的统计分布前,我们首先给出分位数的一般概念。
定义6.3.1 设随机变量
的分布函数
为,对给定的实数
,如果实数
满足
即
或
则称
为随机变量
的分布的水平
的上侧分位数。或直接称为分布函数
的水平
的上侧分位数。
显然,如果
是严格单调增的,那么其水平
的上侧分位数为
当
是连续型随机变量时,设其概率密度函数为
,则其水平
的上侧分位数
满足
在图形上(图6.3.1),介于密度函数曲线下方,
轴上方与垂直直线
右方之间的阴影区域的面积恰好等于
。
例如,标准正态分布
的水平
的上侧分位数通常记作
,则
满足
即
图6.3.2 给出了标准正态分布的水平
的上侧分位数的图示。
图6.3.1 上侧分位数 图6.3.2 标准正态分布的上侧分位数
一般讲,直接求解分位数是很困难的,对常见的统计分布,在本书附录中给出了分布函数值表或分位数表,通过查表,可以很方便地得到分位数的值。
比如,对给定
的,查标准正态分布的分布函数值表,可得到
的值。对于像标准正态分布那样的对称分布(概率密度函数为偶函数,关于
轴对称!),统计学中还用到另一种分位数——双侧分位数。
定义6.3.2 设
是对称分布的随机变量,其分布函数为
,对给定的实数
,如果实数
满足
即
则称实数
为随机变量
的分布的水平
的双侧分位数,也简称为分位数。或直接称为分布(函数)
的水平
的分位数。
由于对称性,可改写为
或
图6.3.3 标准正态分布的水平
的双侧分位数
可见,水平
的分位数实际等于水平
的上侧分位数。即有
图6.3.3以标准正态分布为例给出了双侧分位数的图示。
6.3.1 分位数
在统计推断中,经常用到统计分布的一类数字特征——分位数。在即将讨论一些常用的统计分布前,我们首先给出分位数的一般概念。
定义6.3.1 设随机变量





即


则称





显然,如果



当






在图形上(图6.3.1),介于密度函数曲线下方,



例如,标准正态分布





即

图6.3.2 给出了标准正态分布的水平



图6.3.1 上侧分位数 图6.3.2 标准正态分布的上侧分位数
一般讲,直接求解分位数是很困难的,对常见的统计分布,在本书附录中给出了分布函数值表或分位数表,通过查表,可以很方便地得到分位数的值。

比如,对给定



定义6.3.2 设






则称实数





由于对称性,可改写为



图6.3.3 标准正态分布的水平


可见,水平



图6.3.3以标准正态分布为例给出了双侧分位数的图示。