分位数

前面已指出，当取得总体的样本后，通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断。为了实现推断的目的必须进一步确定相应的统计量所服从的分布。这样就有必要补充一些在本书概率论部分未曾提及，但在统计学中却经常用到的分布。
　　 6.3.1　分位数
　　在统计推断中，经常用到统计分布的一类数字特征——分位数。在即将讨论一些常用的统计分布前，我们首先给出分位数的一般概念。
　　定义6.3.1 设随机变量 的分布函数 为，对给定的实数 ，如果实数 满足

　　即
　　 或
　　则称 为随机变量 的分布的水平 的上侧分位数。或直接称为分布函数 的水平 的上侧分位数。
　　显然，如果 是严格单调增的，那么其水平 的上侧分位数为
　　
　　当 是连续型随机变量时，设其概率密度函数为 ，则其水平 的上侧分位数 满足
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　
　　 在图形上（图6.3.1），介于密度函数曲线下方， 轴上方与垂直直线 右方之间的阴影区域的面积恰好等于 。
　　例如，标准正态分布 的水平 的上侧分位数通常记作 ，则 满足
　　
　　即
　　
　　图6.3.2 给出了标准正态分布的水平 的上侧分位数的图示。
　　
　　图6.3.1 上侧分位数 图6.3.2 标准正态分布的上侧分位数
　　一般讲，直接求解分位数是很困难的，对常见的统计分布，在本书附录中给出了分布函数值表或分位数表，通过查表，可以很方便地得到分位数的值。

比如，对给定 的，查标准正态分布的分布函数值表，可得到 的值。对于像标准正态分布那样的对称分布（概率密度函数为偶函数，关于 轴对称！），统计学中还用到另一种分位数——双侧分位数。
　　定义6.3.2 设 是对称分布的随机变量，其分布函数为 ，对给定的实数 ，如果实数 满足
　　 即
　　
　　则称实数 为随机变量 的分布的水平 的双侧分位数，也简称为分位数。或直接称为分布（函数） 的水平 的分位数。
　　由于对称性，可改写为
　　 或
　　 　　　　　　　　　　　　　　

　　图6.3.3 标准正态分布的水平 的双侧分位数
　　
　　可见，水平 的分位数实际等于水平 的上侧分位数。即有
　　
　　图6.3.3以标准正态分布为例给出了双侧分位数的图示。