数据结构——单调队列

单调队列的定义与理解

 顾名思义，单调队列的重点分为 “单调” 和 “队列”

 “单调” 指的是元素的的 “规律”——递增（或递减）
 “队列” 指的是元素只能从队头和队尾进行操作

单调队列的实际作用

 先给出一个例子：
 给出一个长度为$n$的数组，编程输出每$k$个连续的数中的最大值和最小值。

 最为暴力的做法就是两层循环枚举，时间复杂度是$O(n\ast k)$的。在$n$较大的情况下回$TLE$，如何优化我们的算法是当务之急。

 这时所用到的就是单调队列了。

 题目要求的是每连续的$n$个数中的最大（最小）值，很明显，当一个数进入所要 “寻找” 最大值的范围中时，若这个数比其前面（先进队）的数要大，显然，前面的数会比这个数先出队且不再可能是最大值。

 也就是说——当满足以上条件时，可将前面的数 “弹出”，再将该数真正$push$进队尾。

 这就相当于维护了一个递减的队列，符合单调队列的定义，减少了重复的比较次数，不仅如此，由于维护出的队伍是查询范围内的且是递减的，队头必定是该查询区域内的最大值，因此输出时只需输出队头即可。

 显而易见的是，在这样的算法中，每个数只要进队与出队各一次，因此时间复杂度被降到了$O(n)$。

 而由于查询区间长度是固定的，超出查询空间的值再大也不能输出，因此还需要$pos$数组记录第$i$个队中的数在原数组中的位置，以弹出越界的队头。

 综上所述，单调队列的核心内容作用就在于高效地求出定区间长度内的最值。凭借这个O(n)的高效作用，单调队列这种思想也常用于动态规划等问题中。

核心代码

单调队列求最小值（以上诉例子为例）

inline void monotonous-queue(){
	int head=tail=0;
	for(int i=1;i<k;i++){
		while(head<=tail and a[q[tail]]>=a[i])tail--;
		q[++tail]=i;
	}//先处理前面没有满k个的部分。
	for(int i=k;i<=n;i++){
		while(head<=tail and a[q[tail]]>=a[i])tail--;
		q[++tail]=i;
		while(q[head]<=i-k)head++;
		cout<<a[q[head]]<<'\n';
	}
}//单调队列求最小值 

单调队列求最大值

inline void monotonous-queue(){
	int head=tail=0;
	for(int i=1;i<k;i++){
		while(head<=tail and a[q[tail]]<=a[i])tail--;
		q[++tail]=i;
	}//先处理前面没有满k个的部分。
	for(int i=k;i<=n;i++){
		while(head<=tail and a[q[tail]]<=a[i])tail--;
		q[++tail]=i;
		while(q[head]<=i-k)head++;
		cout<<a[q[head]]<<'\n';
	}
}//单调队列求最大值