08 排序-冒泡

排序算法太多了，有很多可能你连名字都没听说过，比如猴子排序、睡眠排序、面条排序等。我只讲众多排序算法中的一小撮，也是最经典的、最常用的：冒泡排序、插入排序、选择排序、归并排序、快速排序、计数排序、基数排序、桶排序。我按照时间复杂度把它们分成了三类，分三节课来讲解。

一、如何分析一个 排序算法

执行效率

1.从最好、最坏、平均时间复杂度分析

对于要排序的数据，有的可能接近有序、有的可能完全无序。有序程度不同，对排序算法肯定有影响，我们需要知道算法在不通数据下的表现。

2.时间复杂度的系数、常数、低阶

我们表示时间复杂度一般会忽略系数、常数、低阶。但实际开发过程中，我们排序的数据可能比较少，所以要对这些进行比较。

3.比较次数和交换次数

基于比较的排序算法，会涉及2中操作：大小的比较，和元素的交换(移动)。所以应该把这两种也考虑进去。

内存消耗

也就是空间复杂度。 O(1)空间复杂度的排序算法我们叫原地排序。

排序算法的稳定性

如果元素中有2个多个相同的数，排序后他们的前后相对位置不变，那么这个算法就是稳定的。否则是不稳定的。

二、冒泡排序

冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序工作。

// 冒泡排序，a表示数组，n表示数组大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
 
 for (int i = 0; i < n-1; ++i) {
    // 提前退出冒泡循环的标志位
    boolean flag = false;
    for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
      if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
        int tmp = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = tmp;
        flag = true;  // 表示有数据交换      
      }
    }
    if (!flag) break;  // 没有数据交换，提前退出
  }
}

结论：

空间复杂度：O(1)  属于原地排序算法

是否稳定： 稳定排序算法

时间复杂度：最好O(n), 最坏O(n^2), 平均O(n^2)

如何分析平均时间复杂度：

对于包含 n 个数据的数组，这 n 个数据就有 n! 种排列方式。不同的排列方式，冒泡排序执行的时间肯定是不同的。比如我们前面举的那两个例子，其中一个要进行 6 次冒泡，而另一个只需要 4 次。如果用概率论方法定量分析平均时间复杂度，涉及的数学推理和计算就会很复杂。我这里还有一种思路，通过“有序度”和“逆序度”这两个概念来进行分析。

有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对用数学表达式表示就是这样：

有序元素对：a[i] <= a[j], 如果i < j。

 同理，对于一个倒序排列的数组，比如 6，5，4，3，2，1，有序度是 0；对于一个完全有序的数组，比如 1，2，3，4，5，6，有序度就是 n*(n-1)/2，也就是 15。我们把这种完全有序的数组的有序度叫作满有序度。

逆序度的定义正好跟有序度相反（默认从小到大为有序）；

关于这三个概念，我们还可以得到一个公式：逆序度 = 满有序度 - 有序度。我们排序的过程就是一种增加有序度，减少逆序度的过程，最后达到满有序度，就说明排序完成了。

我还是拿前面举的那个冒泡排序的例子来说明。要排序的数组的初始状态是 4，5，6，3，2，1 ，其中，有序元素对有 (4，5) (4，6)(5，6)，所以有序度是 3。n=6，所以排序完成之后终态的满有序度为 n*(n-1)/2=15。

冒泡排序包含两个操作原子，比较和交换。每交换一次，有序度就加 1。不管算法怎么改进，交换次数总是确定的，即为逆序度，也就是n*(n-1)/2–初始有序度。此例中就是 15–3=12，要进行 12 次交换操作。

对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？最坏情况下，初始状态的有序度是 0，所以要进行 n*(n-1)/2 次交换。最好情况下，初始状态的有序度是 n*(n-1)/2，就不需要进行交换。我们可以取个中间值 n*(n-1)/4，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。换句话说，平均情况下，需要 n*(n-1)/4 次交换操作，比较操作肯定要比交换操作多，而复杂度的上限是 O(n2)，所以平均情况下的时间复杂度就是 O(n2)。

这个平均时间复杂度推导过程其实并不严格，但是很多时候很实用，毕竟概率论的定量分析太复杂，不太好用。等我们讲到快排的时候，我还会再次用这种“不严格”的方法来分析平均时间复杂度。