codevs1408 最长公共子序列

Description

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们要研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个串A，B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数字，且数字是严格递增的，那么称这一段数字是两个串的公共上升子串，而所有的公共上升子串中最长的就是最长公共上升子串了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子串。不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

Input Description

第一行N，表示A，B的长度。
第二行，串A。
第三行，串B。

Output Description

输出长度

Sample Input

4
2 2 1 3
2 1 2 3

Sample Output

2

Data Size & Hint

1<=N<=3000，A，B中的数字不超过maxlongint

首先这道题的数据非常水以至于我用的O(n^3)的算法也可以过，下面整理下O(n^3)的做法。
定义 f[i][j] 为用 a 串前 i 个字符与 b 串里以第 j 个字符为结尾的字符串构成的最长公共上升子序列 ， 则答案为 max(f[n][i]) i ∈ [1 , n];
更新 f[i][j] 时有两种情况：第一，a[i] != b[j] , 也就是说 a[i] 是不与 b[j] 匹配的，a[i]对答案也就没有贡献，所以说 f[i][j] = f[i-1][j]; 第二种情况，a[i] = b[j] ,如果仅仅是要求最长公共子序列的话就可以直接 f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1 ,这个就不在解释，但还要求严格递增的话就要找一下前面的一个最大的 f[i-1][k] 使 b[k] < b[j] , 然后f[i][j] = f[i-1][k] + 1;
于是就有了如下的O(n^3)算法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int size = 3010;
int f[size][size];
int a[size];
int b[size];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        scanf("%d",&b[i]);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(a[i] == b[j])
            {
                int maxn = 0;
                for(int k = 1 ; k <= j - 1 ; k ++)
                {
                    if(b[k] < b[j])
                        maxn = max(f[i-1][k],maxn);
                }
                f[i][j] = maxn + 1;
            }

        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        ans = max(ans,f[n][i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

但实际上这样做是不符合要求的，还可以优化下找最大值的部分，需要最大值的时候是 a[i] = b[j] 时 ， 且最大值的要求要 b[j] > b[k] ， 由此可得 a[i] > b[k] ,也就是说在枚举与 a[i] 相等的 b[j] 如果发现 a[i] > b[j] 就可以看下此时的 f[i-1][j] 是否可以更新最大值，这样就节省了枚举最大值的时间，成了一个O(n^2)的算法。
代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int size = 3010;
int f[size][size];
int a[size];
int b[size];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        scanf("%d",&b[i]);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        int maxn = 0;
        for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(a[i] > b[j])
                maxn = max(maxn,f[i-1][j]);
            if(a[i] == b[j]) 
                f[i][j] = maxn + 1;
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        ans = max(ans,f[n][i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}