【zqsz&&loi 互测 11.6】 T1

最新推荐文章于 2020-05-11 12:37:00 发布

Loi_LXTT

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CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： ===数论/数学=== 快速幂乘法逆元二分 ===基础算法===

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Loi_LXTT/article/details/78461522

===基础算法=== 同时被 3 个专栏收录

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本文介绍两种求解等比数列前n项和的方法：一是利用等比数列通项公式结合快速幂运算，并引入逆元概念解决取模问题；二是采用二分法加递归方式求解，适用于特定的等比数列求和问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题题目来源：poj 1845
原题传送门
原题求a^b的约数个数，本题作了修改：
这里写图片描述

题目很明显是求首项为1，公比为m的等比数列的前t项和

Solution 1：等比数列通项公式+快速幂

最关键的是取模用到逆元
求逆元？exgcd？费马小定理？不行不行，题目中没有说m和t-1互质
qwq get到了dalao的求逆元的通式：
求：(a/b)%m
公式：(a/b)%m=(a%(m*b))/b
证明？
已知：b|a
设 (a/b)%m=x
a/b=km+x(x < m)
a=kbm+bx
a%(bm)=bx
a%(bm)/b=x
则：(a/b)%m=(a%(m*b))/b
(ps: qly安利给我的博客)

注意开unsigned long long
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef unsigned long long ll;
ll t,m,k,ans;

ll ksm(ll x,ll p)
{
    ll di=x,ret=1,mo=k*(m-1);
    while(p)
    {
        if(p&1) ret=(ret%mo*di%mo)%mo;
        di=(di%mo*di%mo)%mo;
        p>>=1;
    }
    return ret%mo;
}
int main()
{
    cin>>m>>t>>k;
    if(m%k==0&&k!=1) ans=1;
    else if(k==1) ans=0;
    else ans=(ksm(m,t)-1)/(m-1);
    cout<<ans;
    return 0;
}

Solution 2：二分+递归求前n项和

问题：求q^0+q^1+q^2+……+q^(t-1)
由等比数列的前n项和公式可推导得：S(m+n)=Sm+Sn*q^m
设m=n=t/2（t为偶数），代入得：
St=S(t/2)+S(t/2)*q^(t/2)①
由此式递归下去，直到t==0时，返回1
注意：
函数sum(c)所求为q^0+q^1+q^2+…q^c
当c为偶数时，数列的项数为奇数即S(c+1)，公式成立的条件为：t为偶数。所以求Sc+q^c。由①式可提取公因式得：Sc=S(c/2) * (1+q^(c/2))
奇数时直接求就可以了

其他细节看代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef unsigned long long ll;
ll ans,m,t,k;

ll ksm(ll p)
{
    ll di=m,ret=1;
    while(p)
    {
        if(p&1) ret=(ret%k*di%k)%k;
        di=(di%k*di%k)%k;
        p>>=1;
    }
    return ret%k;
}
ll sum(ll c)
{
    if(c==0) return 1;
    if(c&1) return (sum(c/2)*(1+ksm(c/2+1)))%k;
    return (sum(c/2-1)*(1+ksm(c/2))%k+ksm(c))%k;
}
int main()
{
    cin>>m>>t>>k;
    ans=sum(t-1);
    cout<<ans;
    return 0;
}