素数筛选算法详解-优快云博客

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问题引出

问题：请将1~10000中的所有素数打印出来。

解决此类问题有一个通用的办法——用一个神奇的筛子，将所有素数全部“筛”出来。

基本数学背景

任何合数都可以唯一分解成一组素数的积。例如：60 = 2 * 2 * 3 * 5

筛子种类

素数筛一般有两种：埃氏筛和欧拉筛。前者时间复杂度为O(nloglogn)(我也不知道为什么)，后者时间复杂度为O(n)。

埃式筛

核心思想

下列一串数中

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2是素数，因此将2选出来放在一个专门装素数的数组中，并且将所有2的倍数的数全部“筛”掉。

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (筛掉了4, 6, 8, 10, 12)

接下来，3并没有被“筛”掉，说明3是素数，将3选出来放在一个专门装素数的数组中，并且将所有3的倍数的数全部“筛”掉。

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12(筛掉了9)

接下来，发现4已经被筛掉，直接进行下一步。

5没有被筛掉，说明5是素数，将5选出来放在一个专门装素数的数组中，并且将所有5的倍数的数全部“筛”掉。
.一直到最后一个数终止。这就是埃氏筛的思路。

缺点

会出现重复筛选的过程，例如，10会被2筛掉，也会被5筛掉。12会被2筛掉，也会被3筛掉。

代码如下

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int pr[N], cnt;
bool st[N];

void GetPrimes(int n) {
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (!st[i]) {
            pr[cnt++] = i;
            for (int j = 1; i * j < n; j++)
                st[i * j] = true;
        }
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    GetPrimes(n);
    for (int i = 0; i < cnt; i++)
        printf("%d ", pr[i]);
    return 0;
}

思维有点难度，以后再写

欧拉筛

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int pr[N], cnt;
bool st[N];

void GetPrimes(int n) {
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (!st[i]) pr[cnt++] = i;
        for (int j = 0; i * pr[j] < n; j++) {
            st[i * pr[j]] = true;
            if (i % pr[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    GetPrimes(n);
    for (int i = 0; i < cnt; i++)
        printf("%d ", pr[i]);
    return 0;
}