CCF CSP 有趣的数 JAVA

本文介绍了一种使用动态规划解决有趣数计算问题的方法,有趣数是指仅包含0、1、2、3且每种数字至少出现一次,0在1前,2在3前,最高位非0的数。通过定义状态转移方程,文章详细解释了如何计算n位有趣数的数量,并提供了一个Java实现示例。

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问题描述

试题编号:201312-4
试题名称:有趣的数
时间限制:1.0s
内存限制:256.0MB
问题描述:

问题描述

  我们把一个数称为有趣的,当且仅当:
  1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3,且这四个数字都出现过至少一次。
  2. 所有的0都出现在所有的1之前,而所有的2都出现在所有的3之前。
  3. 最高位数字不为0。
  因此,符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外,4位的有趣的数还有两个:2031和2301。
  请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

  输入只有一行,包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。

输出格式

  输出只有一行,包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入

4

样例输出

3

答题栏

解题思路:(动态规划)

对于一个N位数来说,我们从这个N位数的最左边到最右边每一位进行讨论:

对前 i-1 位的情况讨论(总共有六种情况):    

状态:0--用了2,      剩0,1,3
状态:1--用了0,2,   剩1,3
状态:2--用了2,3,   剩0,1
状态:3--用了0,1,2,剩3
状态:4--用了0,2,3,剩1
状态:5--全部用了

定义F(i,0)表示N位整数的第 i 位的“状态:0”。则F(i-1,1)表示:N位整数的第 i-1 位的“状态:1”

第 i 位的“状态0”可以由第 i-1 位的“状态:0”加2获得。所以得状态转移公式:F(i,0) = F(i-1,0);第 i 位的“状态1”可以由第 i-1 位的“状态:0”加0 或者 第 i-1 位的“状态:1”加0或者2 获得。所以得状态转移公式:F(i,1) = F(i-1,0) + 2 * F(i-1,0);第 i 位的“状态2”可以由第 i-1 位的“状态:0”加3 或者 第 i-1 位的“状态:2”加3 获得。所以得状态转移公式:F(i,2) = F(i-1,0) +  F(i-1,2);以此类推。。。。。

为什么要和第 i-1 为进行比较呢?因为(分治的思想)。第N为数的状态可以有第N-1位表示,而第N-1位数的状态可以由第N-1位数的状态表示。问题的规模逐渐减小,知道剩一位(及最左边的数或者说第一位),只能是 2 。从而获得N位有趣数的总情况(即第N位的状态5包含的情况总数。)

注意:数据类型一定要是long型的,如果是int型的,数可能很大,存储不下,导致扣分。

import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner s = new Scanner(System.in);
		int N = s.nextInt();
		long [][] status = new long[N+1][6];
		int i;
		
		for(i=0; i<6; i++) {
			status[0][i] = 0;
		}
		
		for(i=1; i<=N; i++) {
			status[i][0] = 1;
			status[i][1] = (status[i-1][0] + 2 * status[i-1][1] )%1000000007;
			status[i][2] = (status[i-1][0] + status[i-1][2])%1000000007;
			status[i][3] = (status[i-1][1] + 2 * status[i-1][3])%1000000007;
			status[i][4] = (status[i-1][1] + status[i-1][2] + 2 * status[i-1][4])%1000000007;
			status[i][5] = (status[i-1][3] + status[i-1][4] + 2 * status[i-1][5])%1000000007;
		}
		System.out.println(status[N][5]);
	}

}

 

### CCF CSP 考试 Java 历年真题及答案解析 以下是关于 CCF CSP 认证考试中涉及的 Java 编程部分的相关内容,包括历年真题及其解答方法。 #### 一、前缀最大值的应用 在某些题目中,可能需要计算某个组对应的 **前缀最大值**。例如,在某道题目中提到:“给定一个长度为 n 的整组 a 和另一个未知组 b,已知两者之间存在某种关系。” 这里的核心思路在于理解如何通过 m 的值以及 a 组的值推导出 b 组的具体值[^2]。 具体实现可以通过如下方式完成: ```java public class PrefixMax { public static void main(String[] args) { int[] a = {3, 1, 4, 1, 5}; // 示例输入组 int n = a.length; int[] prefixMax = new int[n]; // 初始化第一个元素 prefixMax[0] = a[0]; // 遍历并更新前缀最大值 for (int i = 1; i < n; ++i) { prefixMax[i] = Math.max(prefixMax[i - 1], a[i]); } System.out.println("Prefix Max Array:"); for (int value : prefixMax) { System.out.print(value + " "); } } } ``` 上述代码展示了如何构建一个简单的前缀最大值组 `prefixMax`,这是解决类似问题的基础工具之一。 --- #### 二、递推公式的应用 另一类常见问题是基于递推公式求解目标组。例如,“如果知道两个组之间的递推关系,则可以逐步推出所需的结果”。这种情况下通常会给出初始条件和后续项的关系表达式。下面是一个典型的例子: 假设我们有一个递推公式 \( b_0 \),\( b_i = f(a_{i-1}, b_{i-1})\) ,则可通过以下方式进行处理: ```java import java.util.Scanner; public class RecurrenceRelation { public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int n = scanner.nextInt(); // 输入组大小 int[] a = new int[n]; // 定义组a for (int i = 0; i < n; ++i) { a[i] = scanner.nextInt(); } long m = scanner.nextLong(); // 给定参m long b0 = computeB0(m); // 初始值b0由特定函决定 long[] b = new long[n]; b[0] = b0; // 使用递推公式填充整个b组 for (int i = 1; i < n; ++i) { b[i] = ((long)a[i - 1]) * b[i - 1] % m; } System.out.println("Array B:"); for (long val : b) { System.out.print(val + " "); } } private static long computeB0(long m) { return (m + 1) / 2; // 示例初始化逻辑 } } ``` 此代码片段实现了从已知条件出发,按照指定规则生成新的序列 `b`。 --- #### 三、边界条件的重要性 无论是在实际开发还是竞赛环境中,都应特别注意各种极端情况下的表现。正如资料所言,“希望获得满分,仅依赖于官方提供的样本测试显然是不足的;还需要自行设计额外案例,并充分考虑到特殊情形下的行为特征”[^1]。因此建议开发者们多尝试不同类型的输入组合,比如全零组、负集合或者极大范围内的随机分布等等。 --- #### 四、总结与技巧分享 为了更好地应对这类挑战赛题型变化莫测的特点,可以从以下几个方面提升自己的能力水平: - 掌握常用据结构(链表、栈队列等),熟悉它们各自的优缺点; - 学习高级库功能(如 STL 中容器操作模板),提高编写效率的同时减少错误率; - 不断积累经验教训,形成个人专属的知识体系框架。 ---
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