格拉姆-斯密特过程

　　在线性代数中，格拉姆-斯密特过程应该是个比较基础的东西，一直都只是有个模糊的印象，不知道具体的操作，其实我以为这是个高大上的算法，没想到这个算法是这么地亲民。
　　格拉姆-斯密特过程是实现正交化的一个方法：给定矩阵$A$，若$A$中各列向量线性无关，则$A$可以产生一个正交矩阵$Q$，可以简单地将$Q$理解为各列向量之间互相垂直的矩阵。下面在二维平面上对这个过程进行具体的描述。

1 二维情形

假设我们有两个线性无关的向量 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$

• 我们想要他们垂直，其中 $\mathbf a \Rightarrow \mathbf v_1$, $\mathbf b \Rightarrow \mathbf v_2$
  
• 假设 $\mathbf a$ 已经调整好了,我们将它的方向作为 $\mathbf q_1$ 的方向
• $\mathbf b$ 还没有进行调整: 我们希望它垂直于 $\mathbf q_1$

下面的问题就是我们如何从 $\mathbf b$ 产生一个向量 $\mathbf v_2$ 以满足 $\mathbf v_2 \; \bot \; \mathbf v_1 = \mathbf a$

　　

• 我们把 $\mathbf b$ 在 $\mathbf v_1$ 进行投影, 然后我们可以得到 P⋅v1=vT1bvT1v