卡特兰数

最新推荐文章于 2022-07-21 20:18:41 发布
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分类专栏： leetcode-c 文章标签： 数学
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一，定义

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
卡塔兰数的一般项公式为：
这里写图片描述
其中：
这里写图片描述

前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
（注意：从C0项开始）

二，组合公式

这里写图片描述
可以推出上面的C（2n,n）来。

三、应用之一：完整二叉树种类

Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数，下图有四个叶子节点那么n+1=4, n=3，也就是有C3个完整二叉树，答案为5：
这里写图片描述

C/C++ 打印0到N的Catalan数卡特兰数算法详解及源码
希望我的博客，能帮上你解决学习中工作中所遇到的问题
06-19 2650
卡特兰数（Catalan numbers）是组合数学中一种常见的数列，它由比利时数学家Eugene Charles Catalan在19世纪的研究中首次引入。由于使用了递归，对于较大的N值，计算时间会成指数增长，运行时间会很长。由于卡特兰数增长迅速，当N较大时，结果可能会超出unsigned long int类型的范围。它使用了递归的方式，直接按照卡特兰数的递推关系计算结果。打印0到N的Catalan数的算法将递推计算Catalan数，并将其打印出来。可以考虑使用更高效的算法实现卡特兰数的计算。
卡特兰数公式推导
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卡特兰数最常见的描述就是2n个球进站出站有多少种顺序推导：折线法，问题转化为从(0,0)到(2n,0)(0,0)到(2n,0) 每次可以向右上或者右下走一波，问在不越过x=0x=0 这条线的情况下，有多少种走法。所以可以根据总数减去非法数总数很明显是cn2nc^{n}_{2n}非法数可以这样算。如果这个过程非法，这条线一定会碰到x=−1x=-1 这样我们可以取折线第一次喷到直线x=−1x=-1的点。
【知识总结】卡特兰数 (Catalan Number) 公式的推导
Inspector_Javert
04-12 8946
卡特兰数的英文维基讲得非常全面，强烈建议阅读！ Catalan number - Wikipedia (本文中图片也来源于这个页面) 由于本人太菜，这里只选取其中两个公式进行总结。 （似乎就是这两个比较常用？） 首先先扔卡特兰数的定义式 Catalann=∏i=1n−1Catalani∗Catalann−iCatalann=∏i=1n−1Catalani∗Catalann−i...
卡特兰数通项公式详细推导过程
chenf1999的博客
09-22 6978
设法求解下面这个递归式或给出其最低上界的阶，设P(1)=1P(1)=1P(1)=1 P(n)=∑k=1n−1P(k)P(n−k) \large{P(n)=\sum^{n-1}_{k=1}P(k)P(n-k)} P(n)=k=1∑n−1​P(k)P(n−k) 易知P(n)P(n)P(n)就是卡特兰数，下面用生成函数法求解出其通项公式。 设生成函数为： g(x)=h(1)x+h(2)x2+...+h(k)xk+... \large{g(x)=h(1)x+h(2)x^2+...+h(k)x^k+...} g(x
什么是卡特兰数及卡特兰数公式推导
wuxiaopengnihao1的博客
07-21 2615
我们会发现触碰到了直线y=x+1y=x+1y=x+1的路径的终点都变成了点(n-1,n+1)。也就是说，从(0,0)点到(n,n)点的路线当中触碰了直线y=x+1y=x+1y=x+1的路线条数与从(0,0)点到(n-1,n+1)点的路线条数的数量是相等的。而我们如果把触碰到了直线y=x+1y=x+1y=x+1的路线的第一个与y=x+1y=x+1y=x+1的触碰点之后的路线关于直线y=x+1y=x+1y=x+1对称，并画出对称后的路线。...
为什么n个节点的二叉树是卡特兰数
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刚刚接触卡特兰数的时候，对这个结论很蒙，因为左右括号、火车进站很好理解，结果是个2*n的序列，与卡特兰数的证明可以直接对应。但是对于二叉树，我却很难想到怎么构造成2*n个数的数列。 可以把二叉树转换成完全...
深入理解卡特兰数及其应用
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Catalan number，卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。 令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h...
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卡特兰数（Catalan Number）是一种在数学中广泛应用的整数序列，它首次由比利时数学家欧仁·查尔斯·卡特兰提出。这个序列在许多不同的数学问题中出现，包括组合学、图论、语法分析、计算几何等领域。在算法设计中，...
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卡特兰数是组合数学中常用的一个数列： 通项公式为： h(n) = C(2n, n)/(n+1) 递推公式为： h(0)=1，h(1)=1， h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) ,(n>=2)。 从卡特兰数的递推公式来看，这是一个关于统计划分情况的递归问题。 Catala
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令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1] ： h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2 h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5 另类递推式[2] ：
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