MIT 18.06 linear algebra 第十讲笔记

MIT 18.06 linear algebra 第十讲笔记

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第十课的重点为：

• four Fundamental subspace(for matrices $A$)

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四个子空间分别为：

1. 列空间$C(A$（columnspace of $A$）
2. 零空间$N(A)$（Nullspace of $A$）
3. 行空间$(C(A^T)$（rowspace）
4. $A^T$的零空间$N(A^T)$(Nullspace of $A^T$)

5. 前面已经见过列空间和零空间了，行空间就是矩阵中行向量所有的线性组合构成的空间。$A^T$的零空间即$A^Tx=0$的所有解构成的空间。$N(A^T)$又称为左零矩阵。

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   假设矩阵$A$是$m\times n$的：

   • $N(A)$是在$R^n$中的
   • $C(A^T)$是在$R^n$中的
   • $N(A^T)$是在$R^m$中的
   • $C(A)$是在$R^m$中的

   这四个子空间，其中$C(A)$加 $N(A^T)$的维度和为m,其中$C(A^T)$加 $N(A)$的维度和为n。

   对于列空间$C(A)$的一组基就是矩阵$A$中的主列。$C(A)$和$C(A^T)$的维度都为矩阵$A$的秩$r$，$N(A)$的维度为$n-r$，$N(A^T)$的维度为$m-r$。
   

   $$A= \begin{bmatrix} 1&2&3&1\\ 1&1&2&1\\ 1&2&3&1\\ \end{bmatrix}-> \begin{bmatrix} \color{red}1&\color{red}0&\color{blue}1&\color{blue}1\\ \color{red}0&\color{red}1&\color{blue}1&\color{blue}0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}=R\tag{1}$$
   式(1)中进行的行变换，矩阵$A$的行空间和$R$的行空间是一样的（因为消元进行的是对行的线性变化，所以并不会改变行空间）。但是矩阵$A$的列空间和$R$的列空间是不一样的。即$C(A)\neq C(R)$。

   $N(A^T)$就是$A^Ty=0$的所有解构成的空间。可以变换为：$y^TA=0^T$。所以$N(A^T)$又称为$A$的左零空间。

   式(1)中对矩阵$A$进行的变换相当于：$EA=R$。那么[$A_{m\times n}I_{m\times m}$]做相同的变换就成$\begin{bmatrix}R_{m\times n}E_{m\times m}\end{bmatrix}$。

   $$EA= \begin{bmatrix} -1&2&0\\ 1&-1&0\\ \color{yellow}{-1}&\color{yellow}0&\color{yellow}1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2&3&1\\ 1&1&2&1\\ 1&2&3&1\\ \end{bmatrix}-> \begin{bmatrix} \color{red}1&\color{red}0&\color{blue}1&\color{blue}1\\ \color{red}0&\color{red}1&\color{blue}1&\color{blue}0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}=R\tag{2}$$
   从式(2)中可以看出来，$E$的最后一行的转置就是$N(A^T)$的一组基。

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   new “vector” space
   对于一个矩阵来说，矩阵之间（同形状）是可以相加的，矩阵也可以数乘。这样就很类似向量空间的概念。
   例如：所有的上三角矩阵构成一个空间，所有的对称阵构成一个空间。上三角矩阵与对称阵的交集构成对角阵的空间。假设对角阵的维度为$3\times 3$,那么这个空间的基就是3。基的示例如下：
   

   $$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\tag{3}$$
   以上三个矩阵就可以成为3维对角阵的一组基。