补码运算原理-优快云博客

计算机中用补码表示一个数是为了方便运算的，这样减法也可以通过加法来实现。为什么这样设计行呢？主要是因为计算机里数的特殊存储格式决定的，计算机里用固定位数表示一个数，超过该位置的部分会被舍弃。

拿8BYTE的int型来说，无符号形式下，最大到1111 1111 = 255，超过了该范围，会被截断的，如：111 1111 1111 –> 1111 1111 = 255，故表示范围是0～255。这样的话，减去一个数可以通过加上某个数撑出界后截断来处理。无符号形式下，拿两个正数来举例，并且是大数减小数，如38 – 37。

数学中是这样描述的：减去一个数等于加上该数的相反数，即38 +(-37)。那-37怎么表示呢？考虑37 +(-37) = 0， 37 = 0010 0101，加上-37能撑到1 0000 0000就行了。

现在引进反码的概念，即按位求反，37的反码是 1101 1010，与原码相加，变成1111 1111。再加上1的话就正好撑出界，是1 0000 0000，截位后为0。故-37 = 1101 1010 + 1 = 1101 1011。38 =0010 0110 ，加上1101 1011后为1 0000 0001 = 1，借助截位达到减的效果。

当然无符号情况下不能表示负数的。上述-37 = 1101 1011，其实是219。故将最高位设为符号位，1表示负数，0表示正数。

这样8Byte的int型表示的最大正数是0111 1111 = 127，那负数是怎么表示的?才能满足减法也能通过加法来实现。是不是1000 0001 就是- 1！这样不合适，拿2 – 1 = 2 + (-1)来说，0000 0010 + 1000 0001 = 1000 0011 , 如果是那样表示的话，应该是-3。

其实将无符号情况拿过来直接用就行了，-37 = 1101 1011。这样运算就方便了，直接加就行了。那为什么拿过来，负数的最高位正好是1呢？其实看看正数的表示范围就可理解了，有符号正数只能表示0000 0001 ～ 0111 1111，若想通过撑到1 0000 0000截断的方式求相反数(负数)，最高位必须是1。都是0000 0001 ～ 0111 1111范围的两个数怎么加都在1111 1110以下。且对于0000 0001 ～ 0111 1111范围的任何数，都存在最高位是1的8位数(二进制)和它相加撑到1 0000 0000。0就不用求相反数，和本身一样，故放在正数里。

当然这只是运算上方便，并不是干什么都方便，显示出来时就得转换了。那补码情况下数是怎么显示的呢？首先判断符号位，符号位为0就是正数，如0111 1111,那就是127，和原码一样。符号位为1是负数，须转换，如1111 1111，那考虑它是怎么来的，是通过绝对值的原码求反加1，那反过来就是减一求反，1111 1111 -> 1111 1110 -> 0000 0001 = 1, 故1111 1111 的值是-1。

考虑求反加一和减一求反是一样的，其实补码就是这样一个数：与原码相加后正好撑出界，截断后为0,即相加为1 0000 0000 = 0，用公式表示就很容易理解了。a是原码，b是a的反码，c = b + 1是a的补码，a + b + 1 = 1 0000 0000，即a + c = 1 0000 0000, 从无符号的角度考虑，a和c互为补码，知道c求a可不原路返回，将c看成原码，求反加一得a。