25、直觉主义逻辑的可靠性、完备性与归一化

直觉主义逻辑的可靠性、完备性与归一化

1. PPIL 的可靠性

PPIL（可能是某种特定的直觉主义逻辑系统）的可靠性定理表明，如果一个公式 $f$ 可以从假设 $\Gamma$ 在 PPIL 中被证明，那么对于任何 Kripke 结构，在 $\Gamma$ 为真的任何世界中，$f$ 也为真。

首先定义了一个关系 _,_ ：

_,_ : ctxt Ñ formula Ñ Set1
Γ , f = @{k : struct}{w : W k} Ñ k , w |ùctxt Γ Ñ k , w |ù f

可靠性定理 Soundness 的定义如下：

Soundness : @{Γ : ctxt}{f : formula} Ñ Γ $ f Ñ Γ , f
Soundness assume g = fst g
Soundness (weaken p) g = Soundness p (snd g)
Soundness{Γ} (ImpliesI p) g r u’ =
  Soundness p (u’ , mono|ùctxt r g)
Soundness (ImpliesE p p’) {k} g =
  (Soundness p g) (reflR k) (Soundness p’ g)
Soundness TrueI g = triv
Soundness (AndI p p’) g = (Soundness p g , Soundness p’ g)
S