9、自然数与列表的编程与证明

自然数与列表的编程与证明

1. 自然数的相等性测试

在编程和类型理论中，相等性是一个重要的概念。对于自然数，我们可以定义一个相等性测试函数，用于判断两个自然数是否相等。

1.1 相等性测试函数的定义

相等性测试函数 _=N_ 的定义如下：

_=N_ : N Ñ N Ñ B
0 =N 0 = tt
suc x =N suc y = x =N y
_ =N _ = ff

这个函数处理三种情况：
- 当两个数都是 0 时，返回 tt ，表示相等。
- 当两个数都是非零数（形式为 suc x 和 suc y ）时，递归地测试 x 和 y 是否相等。
- 其他情况返回 ff ，表示不相等。

例如，使用 Control-c Control-n 可以确认 3 =N 3 返回 tt ，而 3 =N 4 返回 ff 。

1.2 相关定理及证明

我们有三个关于 _=N_ 函数的证明，这些证明表明该函数确实是一个有效的相等性测试函数。

1.2.1 自反性证明