8、自然数的运算与证明

自然数的运算与证明

1. 加法相关性质

在自然数的加法运算中，有一些重要的性质和证明。首先是加法的 +suc 性质：

+suc : @ (x y : N) Ñ x + (suc y)  suc(x + y)
+suc zero y = refl
+suc (suc x) y rewrite +suc x y = refl

这个证明与 +0 的证明很相似。加法的定义如下：

_+_ : N Ñ N Ñ N
zero + n = n
suc m + n = suc (m + n)

加法交换律 +comm 的最终证明如下：

+comm : @ (x y : N) Ñ x + y  y + x
+comm zero y rewrite +0 y = refl
+comm (suc x) y rewrite +suc y x | +comm x y = refl

这里展示了 +comm 的一个特性，即可以使用多个等式进行重写，通过垂直竖线分隔。

2. 乘法的定义与性质

2.1 乘法的定义

乘法的定义如下：

_*_ : N Ñ N Ñ N
zero * n = zero
suc m * n = n + (m * n)