28、多级平面性：算法与复杂度分析

多级平面性：算法与复杂度分析

1. 多级平面性相关概念与初步结论

在图论中，多级平面性是一个重要的研究方向。对于一个图 $G$，其运行时间为线性的，因为可以在线性时间内计算出 $G$ 的拓扑排序，并且在上述过程中每个顶点和边最多被处理两次。由于每个级别候选在 $\ell$ 中最多被移除一次，所以总运行时间为 $O(n + \sum_{v \in V} |\ell(v)|)$，即与输入规模呈线性关系。

我们将多级平面的 $sT$ - 图刻画为某些平面 $st$ - 图的子图。对于给定的多级平面绘制，我们可以找到一组边，插入这些边不会使绘制无效，并且能使基础图成为 $st$ - 图。这一技术与 Bertolazzi 等人的方法类似，且建立在其基础之上。

2. 嵌入 $sT$ - 图的多级平面性测试

对于嵌入的 $sT$ - 图，我们有以下重要结论：
- 引理 2 ：设 $G = (V, E)$ 是一个双连通的 $sT$ - 图，带有向上平面绘制 $\Gamma$。对于 $\Gamma$ 的每个内面 $f$ 和与 $f$ 相关联的每个顶点 $v$，设 $\angle_{\Gamma,f}(v)$ 表示由 $\Gamma$ 中与 $v$ 和 $f$ 相关联的两条边所定义的角度。则有：
1. 在 $f$ 的边界上恰好有一个汇点开关 $t_f$，使得 $\angle_{\Gamma,f}(t_f) \leq \pi$，即 $f$ 上所有顶点中 $y$ 坐标最大的顶点。
2. 设 $\Gamma’$ 是 $G$ 的一个与 $\Gamma$ 同胚的向上平面绘制。那么在 $\Gamma’$ 中，顶点 $t_