27、单调 TVPI 系统与多级平面性测试算法研究

单调 TVPI 系统与多级平面性测试算法研究

1. 单调 TVPI 系统算法

在解决单调 TVPI 系统问题时，若要构建一个能返回唯一最小解的算法，依据相关引理，我们无需考虑所有不等式集合 $M$，仅需关注较小的不等式集合 $M_1$。为简化问题，我们假设不存在模式 1 的不等式，且可在 $O(1)$ 时间内检查每个不等式的模式。

1.1 单调 TVPI 系统转化为有向图

对于具有 $n$ 个变量的单调 TVPI 系统 $M$，我们可将其转化为有向图 $G(M)$。转化思路源自 Shostak 关于分数可行性的研究。设 $M_1$ 和 $M_2$ 是 $M$ 的子集，对于 $M_1$ 中第 $i$ 个（模式 2 或 3）不等式，可写成如下形式：
[x_{j_i} \geq \frac{b_i}{a_i}x_{k_i} + \frac{c_i}{a_i}]
我们分别用 $\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 表示系数 $\frac{b_i}{a_i}$ 和截距 $\frac{c_i}{a_i}$，则不等式可写为：
[x_{j_i} \geq \alpha_i x_{k_i} + \beta_i]
构建与 $M$ 相关的有向图 $G = (V, A)$，其中 $V := {0, 1, \ldots, n}$，每个顶点 $j$（$j = 1, \ldots, n$）对应单调 TVPI 系统的变量 $x_j$，0 为额外顶点。对于任意 $i \in I_1$，在 $A$ 中添加一条从 $k_i$ 到 $j_i$ 的弧，权重为 $(\alpha_i, \beta_i)$。若 $\alpha_i$ 为 0，$\beta_i$ 成为 $x_{j