【笔记】求解C(n, m)情况

一、求解C(n, m)

公式一：

 

公式二：

公式二可以这么理解，从n个物品中取m个有2种情况：(1)不取第n个物品，于是从前n-1个中取m个; (2)取第n个物品，于是从前n-1个中取m-1; 所以答案是这两种情况的和

 

二、求解C(n, m)%p，p为大质数

当n,m,p都很大的时候，用公式二肯定不行了，费时间又费内存，这时候要用公式一，问题是取模时怎样可以把除法转化为乘法？

费马小定理： 若p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1， 即a^(p-1)  ≡ 1 （mod p），所以a^(p-2) ≡ 1/a  (mod p)

公式三：

这里求阶乘的时候要一边乘一边取模，求p-2次方的时候要要快速幂

 

三、求解C(n, m)%p，p为小质数

Lucas定理：n,m是非负整数，p是质数，将n,m写成p进制的形式，即：n=(a[k], a[k-1]...., a[0])p，m=(b[k], b[k-1]..., b[0])p，则

公式四：

公式五：

在对上面公式证明之前，我们先证明一下下面这个公式

公式六：

证明公式六：

 

 证明公式五：

 

四、范德蒙恒等式

公式七：

证明：

1.

2.可以这么理解：从n+m个球中取k个球，相当于将球分为两部分，分别有n个球和m个球；结果相当于从n个球中取i个的球情况下，从m个球中取k-i个球，i的范围是[0,k]。