梯度提升决策树(GBDT)与极端梯度提升(xgboost)算法

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#GBDT #xgboost #梯度提升决策树 #极端梯度提升 #原理

本文深入探讨了梯度提升决策树(GBDT)的算法流程，解释了如何通过残差学习基回归树，并介绍了xgboost的优化策略，包括目标函数、并行计算和过拟合处理。xgboost通过引入正则化项、并行化和损失函数的二阶偏导，实现了更快且效果更好的预测。
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梯度提升决策树(GBDT)

  梯度提升决策树(GBDT)算法是梯度提升(GB)算法限定基学习器是回归决策树时的模型，尤其是CART回归树，关于梯度提升(GB)可以看我的blog中对应的部分。

  这里根据GB算法，改写成使用CART回归树的GBDT算法。

算法流程

输入：训练集 T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) … ( x N , y N ) } T=\{(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) \dots (x_{N},y_{N})\} T={ (x1​,y1​),(x2​,y2​)…(xN​,yN​)}；回归树个数M；
输出：梯度提升决策树
执行流程：

  1. 初始化 f 0 ( x ) = a r g min ⁡ c ∑ i = 1 N L ( y i , c ) f_{0}(x)=arg\min\limits_{c} \sum\limits_{i=1}^{N}L(y_{i},c) f0​(x)=argcmin​i=1∑N​L(yi​,c)这里初始化和传统的前向分步算法令 f 0 ( x ) = 0 f_{0}(x)=0 f0​(x)=0不同，这里这样做应该是保证后面求偏导过程不是在零点。
  2. 对第m个基回归树，求其残差近似 r m i = − [ ∂ L ( y i , f ( x i ) ) ∂ f ( x i ) ] f ( x ) = f m − 1 ( x ) r_{mi}=-[\frac{\partial L(y_{i},f(x_{i}))}{\partial f(x_{i})}]_{f(x)=f_{m-1}(x)} rmi​=−[∂f(xi​)∂L(yi​,f(xi​))​]f(x)=fm−1​(x)​
  3. 利用残差 r m i r_{mi} rmi​学习第m个基回归树，确定第m个基回归树的区域划分 R m j , j = 1 , 2 … J R_{mj},j=1,2\dots J Rmj​,j=1,2…J。
  4. 求 R m j R_{mj} Rmj​的最终取值 c m j c_{mj} cmj​， c m j = a r g min ⁡ c ∑ x i ∈ R m j L ( y i , f m − 1 ( x ) + c ) c_{mj}=arg\min\limits_{c} \sum\limits_{x_{i}\in R_{mj}}L(y_{i},f_{m-1}(x)+c) cmj​=argcmin​xi​∈Rmj​∑​L(yi​,fm−1​(x)+c)
  5. 更新回归树 f m ( x ) = f m − 1 ( x ) + ∑ j = 1 J c m j I ( x ∈ R m j ) f_{m}(x)=f_{m-1}(x)+\sum\limits_{j=1}^{J}c_{mj}I(x\in R_{mj}) fm​(x)=fm−1​(x)+j=1∑J​cmj​I(x∈Rmj​)若m<M，递归执行步骤2-5。
  6. 得到最终的回归树 F ( x ) = ∑ m = 1 M ∑ j = 1 J c m j I ( x ∈ R m j ) F(x)=\sum\limits_{m=1}^{M}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{mj}I(x \in R_{mj}) F(x)=m=1∑M​j=1∑J​cmj​I(x∈Rmj​)

  在《统计学习方法》中，梯度提升没有基学习器的权值，但在有些文献中，会在上面的步骤4后，加一步求权值的操作，这一步定义成4.1.步骤。

4.1. 计算权值 γ \gamma γ a r g min ⁡ γ m L ( y i , f m − 1 ( x ) + γ m ∑ j = 1 J c m j I ( x ∈ R m j ) ) arg \min \limits_{\gamma_{m}} L(y_{i}, f_{m-1}(x)+\gamma_{m} \sum\limits_{j=1}^{J}c_{mj}I(x\in R_{mj})) argγm​min​L(yi​,fm−1​(x)+γm​j=1∑J​cmj​I(x∈Rmj​))

对应的步骤5中，更新的模型变成 f m ( x ) = f m − 1 ( x ) + γ m ∑ j = 1 J c m j I ( x ∈ R m j ) ) f_{m}(x)=f_{m-1}(x)+\gamma_{m} \sum\limits_{j=1}^{J}c_{mj}I(x\in R_{mj})) fm​(x)=fm−1​(x)+γm​j=1∑J​cmj​I(x∈Rmj​))

极端梯度提升(xgboost)算法

  极端梯度提升(eXtreme Gradient Boosting，xgboost)可以看成改进版本的GBDT算法，xgboost限定了基学习器一定要是CART回归树(在python的xgboost模块中，基学习器还可以是线性模型或dart，但这篇blog仅推导CART回归树情况)，输出一个分数而不是类别，这样有助于我们整合所有的基CART回归树的输出结果(简单相加)，xgboost引入了并行化，所以其速度更快，同时xgboost引入了损失函数的二阶偏导，一般效果也更好。

  xgboost归根到底属于boost集成学习方法，所以其基学习器的学习是串行的，即当我们要学习第 k k k个学习器时，学习的目标是前 k − 1 k-1 k−1个学习器与目标输出的残差，最终的学习器表示如下： y ^ ( K ) = ∑ k = 1 K f k ( x ) , k = 1 , 2 … K \hat{y}^{(K)}=\sum\limits_{k=1}^{K}f_{k}(x),k=1,2\dots K y^​(K)=k=1∑K​fk​(x),k=1,2…K

其中， f k ( ⋅ ) f_{k}(·) fk​(⋅)代表编号是 k k k的基CART回归树，因此，对于输入 { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) … ( x n , y n ) } \{(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\dots (x_{n},y_{n})\} { (x1​,y1​),(x2​,y2​)…(xn​,yn​)}，学习第 k k k个基学习器时，我们学习的目标函数表示如下： min ⁡ f k ( x ) ∑ i = 1 n l ( y i , y ^ i ( k − 1 ) + f k ( x i ) ) \min_{f_{k}(x)}\sum\limits_{i=1}^{n}l(y_{i}, \hat{y}^{(k-1)}_{i}+f_{k}(x_{i})) fk​(x)min​i=1∑n​l(yi​,y^​i(k−1)​+fk​(xi​))

其中， y i y_{i} yi​是第 i i i条数据的真实输出， y ^ i ( k − 1 ) \hat{y}^{(k-1)}_{i} y^​i(k−1)​是已经学习的前 k − 1 k-1 k−1个学习器对第 i i i条数据的集成输出， f k ( ⋅ ) f_{k}(·) fk​(⋅)是待学习的第 k k k个学习器。下面主要说明xgboost如何确定第 k k k个基CART回归树的结构和叶子节点的值。

xgboost的目标函数

  我们先假设我们已经知道了第 k k k个基CART回归树的结构，下面会推导xgboost对第 k k k个基CART回归树的目标函数。

  xgboost比较GBDT，第一个大的改进是，为了防止过拟合，xgboost的目标函数会加入正则化项，这在CART决策树中是没有的，CART决策树会在后期进行决策树剪枝来防止过拟合，加入正则化项后的目标函数如下： min ⁡ f k ( x ) , Ω ( f j ) ( ∑ i = 1 n l ( y i , y ^ i ( k − 1 ) + f k ( x i ) ) + ∑ j = 1 k Ω ( f j ) ) \min_{f_{k}(x), \Omega(f_{j})}\Big(\sum\limits_{i=1}^{n}l(y_{i}, \hat{y}^{(k-1)}_{i}+f_{k}(x_{i})) + \sum\limits_{j=1}^{k}\Omega(f_{j})\Big) fk​(x),Ω(fj​)min​(i=1∑n​

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