优劣解距离法Topsis模型

一、Topsis法的概述

Topsis法(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) ,可翻译为逼近理想解排序法，国内简称为优劣解距离法。该方法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反应各评价方案之间的差距。

二、模型建立的步骤

1.将原始矩阵正向化

在生活中，最常见的指标如下

指标名称	指标特点
极大型（效益型）	越大（多）越好
极小型（成本型）	越小（少）越好
中间型	越接近某个值越好
区间型	落在某区间最好

1）极大型

通常都将所有指标转换为极大型，该过程称为指标正向化

2）极小型

极小型指标的正向化公式为：

max−x

若所有元素均为正数，也可以用 1/x 表示。
由于不同指标的量纲不同，所以还需要对正向化矩阵进行标准化处理。

3）中间型

设{xi}是一组中间型指标序列，其最佳数值为xbest，则中间型指标的正向化公式为：

4）区间型

设{xi}是一组区间型指标序列，其最佳区间为[a,b]，则区间型指标的正向化公式为：

2.正向化矩阵标准化

目的：消除不同指标量纲的影响
现假设有n个要评价的对象，m个评价指标(已经正向化了)构成的正向化矩阵如下：

对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每个元素为：

3.计算得分并归一化

计算得分的公式为：

设一个n个评价对象，m个评价指标的标准化矩阵Z为：

定义最大值

定义最大小值

定义第i(i = 1,2,⋯ \cdots⋯,n)个评价对象与最大值的距离为：

定义第i(i = 1,2,⋯ \cdots⋯,n)个评价对象与最小值的距离为：

所以，第i(i = 1,2,⋯ \cdots⋯,n)个评价对象未归一化的得分为：