LeetCode 122. 买卖股票的最佳时机 II 动态规划详解

122. 买卖股票的最佳时机 II

题目来源

122. 买卖股票的最佳时机 II

题目分析

给定一个数组 prices，它的第 i 个元素表示一支给定股票第 i 天的价格。在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买，然后在同一天出售。要求返回你能获得的最大利润。

题目难度

• 难度：中等

题目标签

• 标签：动态规划, 贪心

题目限制

• 1 <= prices.length <= 3 * 10^4
• 0 <= prices[i] <= 10^4

解题思路

思路1：动态规划

1. 问题定义：

   • 定义 dp[i][0] 表示第 i 天不持有股票的最大利润。
   • 定义 dp[i][1] 表示第 i 天持有股票的最大利润。

2. 状态转移：

   • dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])：当天不持有股票的最大利润，可能是前一天也不持有，或者当天卖出股票后的最大利润。
   • dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])：当天持有股票的最大利润，可能是前一天就持有，或者当天购买股票后的最大利润。

3. 初始化：

   • 第一天不持有股票的利润 dp[0][0] = 0。
   • 第一天持有股票的利润 dp[0][1] = -prices[0]（因为买入股票需要花费一定的资金）。

4. 最终结果：

   • 返回 dp[n-1][0] 即为最后一天不持有股票时的最大利润。

核心算法步骤

1. 动态规划：
   • 初始化 dp 数组，分别表示不持有和持有股票的两种状态。
   • 通过循环遍历 prices 数组，逐步更新 dp 数组中的值。
   • 最终返回 dp[n][0]。

代码实现

以下是求解买卖股票最佳时机 II 的 Java 代码：

/**
 * 122. 买卖股票的最佳时机 II
 * @param prices 股票价格数组
 * @return 最大利润
 */
public int maxProfit(int[] prices) {
    int n = prices.length;
    int[][] dp = new int[n + 1][2];
    dp[0][0] = 0;
    dp[0][1] = - prices[0];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i + 1][0] = Math.max(dp[i][0], dp[i][1] + prices[i]);
        dp[i + 1][1] = Math.max(dp[i][1], dp[i][0] - prices[i]);
    }
    return dp[n][0];
}

代码解读

• dp[i + 1][0] 表示第 i + 1 天不持有股票的最大利润，可能是从前一天就不持有，什么也不做，或者是当天卖出了股票获得的最大利润。
• dp[i + 1][1] 表示第 i + 1 天持有股票的最大利润，可能是从前一天就持有，什么也不做，或者是当天购买股票后的最大利润。

性能分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是 prices 数组的长度。整个过程只需遍历一次数组，因此时间复杂度为线性。
• 空间复杂度：O(n)，需要一个 n 长度的数组来存储动态规划的状态值。

测试用例

你可以使用以下测试用例来验证代码的正确性：

int[] prices1 = {7, 1, 5, 3, 6, 4};
int result1 = maxProfit(prices1);
System.out.println(result1); // 输出: 7

int[] prices2 = {1, 2, 3, 4, 5};
int result2 = maxProfit(prices2);
System.out.println(result2); // 输出: 4

int[] prices3 = {7, 6, 4, 3, 1};
int result3 = maxProfit(prices3);
System.out.println(result3); // 输出: 0

扩展讨论

优化写法

• 空间优化：我们注意到 dp[i] 只依赖于 dp[i-1] 的状态，因此可以将空间复杂度优化为 O(1)。

其他实现

• 贪心算法：直接计算每次上涨的区间和，从而得到最大利润。

总结

买卖股票的最佳时机 II 问题通过动态规划方法解决，该方法简单易懂，时间复杂度为 O(n)。同时，贪心算法也可以用于优化空间复杂度。

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