树链剖分详解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Last_Freezen_yue/article/details/61624290

好久没打博客了。。。。。。。。。~~狗出竞赛。。。~~

关于树链剖分

这东西网上大佬们许多解释，我也只是记录自己的学习而已。~~虽然说连一道题都没有AC~~_ (:зゝ∠)_。
推荐就不拉网址了，那个新浪博客st开头的作者写的挺好的。

正题

思想

关于树链剖分，说白了就是树上的区间操作，把Segement Tree，BIT,平衡树套在树上而已，只是简单想想思路。

树链剖分，自然而然就是将一棵树进行剖解，把其分解成许多条链，对于每一条链都进行重编号然后用一个数据结构去维护。

预处理

这里写图片描述
首先对这一棵树进行链条预处理。
我们规定size[x]表示x为根的子树的大小，那么对于一个节点u，它的重儿子就是它儿子中 size 最大的儿子（如果有同样大的就任选一个），父亲与重儿子的连边称为重边。其他的儿子就被称为轻儿子，轻边定义如上。
就有第一个性质：size[x]<2*size[light_son]。
我们再定义重链指重边组成的链，轻链同理。某个链的第一个节点叫链顶
就有第二个性质：根到某一点的重链吗，轻链的个数都不超过 $log_2n$ 个。

我们用以下数组去维护
size[x]表示x为根的子树节点数。
son[x]表示x的重儿子的编号。
top[x]表示x的x所在链的链顶的编号
deep[x]表示x的深度（根为1）
dad[x]表示x的父亲编号
id[x]表示x的重编号（可以是点或边）

可以两个dfs求出来：
1.可以先求出：size,son,deep,dad。

void dfs1(int x,int fa,int dep)
{
    dad[x]=fa; size[x]=1; deep[x]=dep;
    int big=0;
    for(int i=fre[x];i;i=nnnn[i]){
        if (go[i]==fa) continue;
        dfs1(go[i],x,dep+1);
        if (size[go[i]]>big) son[x]=go[i],big=size[go[i]];
        size[x]+=size[go[i]];
    }
}

2.对于top，我们可以发现，对于一个点u，有top[son[u]]=top[u]，轻儿子x的有top[x]=x。
对于id，直接加就好了。我们dfs的顺序是先是先遍历完一棵子树的重链的，所以重链（重链所连的点）的id是连续的一段，正好可以用数据结构维护。

void dfs2(int x,int tp)
{
    id[x]=++tot; top[x]=tp; now[tot]=a[x];
    if (son[x]!=-1) dfs2(son[x],tp);
    for(int i=fre[x];i;i=nnnn[i]){
        if (go[i]==son[x]) continue;
        if (go[i]==dad[x]) continue;
        dfs2(go[i],go[i]);
    } 
}

然后id的编号弄入一个新数组里（上面是now）。
然后就是对于now的数据结构维护了

操作修改，查询

假设要改u到v的路径上的值。
我们先设tpu=top[u],tpv=top[v]。
1.如果tpu!=tpv，即不在一条重链上。我们就先改deep[tp]更深的那一条（lca原理）。
我们设deep[tpu]>deep[tpv]（小于就互换），然后在数据结构上修改id[tpu]~id[u]上的值。
2.如果tpu=tpv，即在同一条重链上后。
我们设deep[u] < deep[v]（大于就互换），修改id[u]~id[v]上的值，然后结束操作。

void change(int x,int y,int val)
{
    int tx=top[x],ty=top[y];
    while (tx!=ty) {
        if (deep[tx]<deep[ty]) {
            swap(tx,ty);
            swap(x,y);
        }
        changs(1,1,tot,id[tx],id[x],val);
        x=dad[tx]; tx=top[x];
    }
    if (deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
    if (x) changs(1,1,tot,id[x],id[y],val);
}

查询也一样。

结束

似乎道理不多，不过有些难打。。。。

hdu3966

这道题我没有过，我也不知道哪里错了，上网弄了个大佬的标对拍，拍了几年没有拍出什么错。。。
这道题大意：一棵树，区间修改，单点查询。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000");
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define ll long long

using namespace std;

const int maxn=5*1e4+5;
int nnnn[maxn*2],fre[maxn],go[maxn*2],id[maxn],top[maxn],son[maxn],size[maxn],a[maxn];
int num,n,m,q,tot,now[maxn],dad[maxn],deep[maxn],ans;
struct cy{
    int val,lab;
}tree[maxn*4];

void add(int x,int y)
{
    go[++num]=y;
    nnnn[num]=fre[x];
    fre[x]=num;
}
void dfs1(int x,int fa,int dep)
{
    dad[x]=fa; size[x]=1; deep[x]=dep;
    int big=0;
    for(int i=fre[x];i;i=nnnn[i]){
        if (go[i]==fa) continue;
        dfs1(go[i],x,dep+1);
        if (size[go[i]]>big) son[x]=go[i],big=size[go[i]];
        size[x]+=size[go[i]];
    }
}
void dfs2(int x,int tp)
{
    id[x]=++tot; top[x]=tp; now[tot]=a[x];
    if (son[x]!=-1) dfs2(son[x],tp);
    for(int i=fre[x];i;i=nnnn[i]){
        if (go[i]==son[x]) continue;
        if (go[i]==dad[x]) continue;
        dfs2(go[i],go[i]);
    } 
}
void maketree(int p,int l,int r)//线段树操作
{
    if (l==r) tree[p].val=now[l];
    else {
        int mid=(l+r)>>1;
        maketree(p<<1,l,mid);
        maketree(p<<1|1,mid+1,r);
    }
}
void push(int x)
{
    tree[x<<1].lab+=tree[x].lab;
    tree[x<<1|1].lab+=tree[x].lab;
    tree[x].lab=0;
}
void changs(int p,int l,int r,int a,int b,int val)
{
    if (l==a&&r==b) {
        tree[p].lab+=val;
        return;
    }
    if(tree[p].lab) push(p);
    int mid=(l+r)>>1;
    if (b<=mid) changs(p<<1,l,mid,a,b,val);
    else if (a>mid) changs(p<<1|1,mid+1,r,a,b,val);
    else {
        changs(p<<1,l,mid,a,mid,val);
        changs(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,b,val);
    }

}
void change(int x,int y,int val)
{
    int tx=top[x],ty=top[y];
    while (tx!=ty) {
        if (deep[tx]<deep[ty]) {
            swap(tx,ty);
            swap(x,y);
        }
        changs(1,1,tot,id[tx],id[x],val);
        x=dad[tx]; tx=top[x];
    }
    if (deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
    if (x) changs(1,1,tot,id[x],id[y],val);
}
void find(int p,int l,int r,int pos)
{
    if (l==r) {
        tree[p].val=tree[p].val+tree[p].lab;
        tree[p].lab=0;
        ans=tree[p].val;
    }
    else {
        if(tree[p].lab) push(p);
        int mid=(l+r)>>1;
        if (pos<=mid) find(p<<1,l,mid,pos);
        else find(p<<1|1,mid+1,r,pos);
    }
}
int main()
{
    freopen("T.in","r",stdin);
    freopen("T.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
    fo(i,1,m){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y); add(y,x);
    }

    memset(son,255,sizeof(son));
    dfs1(1,0,1);
    dfs2(1,1);

    maketree(1,1,tot);
    fo(i,1,q){
        char ch;
        ch=getchar();
        while (ch!='I'&&ch!='Q'&&ch!='D') ch=getchar();
        if (ch=='I'){
            int x,y,ac;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&ac);
            change(x,y,ac); 
        }
        else if (ch=='D'){
            int x,y,ac;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&ac);
            change(x,y,-ac);
        }
        else {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            ans=0;
            find(1,1,tot,id[x]);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}