【NOIP2012模拟11.3】图的计数

本文探讨了在图论中解决特定问题的算法,通过分析重边和自环的存在,提出了一个计算方案数量的方法。利用组合数学原理,文章详细解释了如何通过递推公式和优化计算过程来找到从节点1到节点n的所有可能路径数。代码实现部分使用C++,展示了如何高效地计算结果并处理大规模数据。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

first of all,

在这里插入图片描述

时间有保障!!!

这题找规律。
由于重边和自环,所以我们可以添加的边有:n2-(n-1)*(n-2)/2条
然后,由于1~n的最短路径为n-1,所以我们必须先找出n-1条边来保证。
那么我们可以发现:
(n=4)
1–>2–>3–>4
1–>3–>2–>4
共2种
(n=5)
1–>2–>3–>4–>5
1–>2–>4–>3–>5
1–>3–>2–>4–>5
1–>3–>4–>2–>5
1–>4–>2–>3–>5
1–>4–>3–>2–>5
共6种
共有(n-2)!种方案,所以答案还要乘个(n-2)!
总的来说,答案便是:
在这里插入图片描述

由于这样弄会时超(或许是我打的丑)

所以我们将C上面的东西变成下面的减去原来的上面的。。。

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
ll a,b,ans=1,s=1;
int n,m;

ll ksm(ll x,int y)
{
	ll s=1;
	while (y>0)
	{
		if (y & 1) s=s*x%mo;
		x=x*x%mo,y>>=1;
	}
	return s;
}

int main()
{
	freopen("T2.in","r",stdin);
//	freopen("T2.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	a=n*n-(n-1)*(n-2)/2+m-n,b=a-(m-n+1);
	for (int i=b+1;i<=a;i++) ans=ans*i%mo;
	for (int i=n-1;i<=a-b;i++) s=s*i%mo;
	printf("%lld\n",ans*ksm(s,mo-2)%mo);
	return 0;
}
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