【HNOI2016模拟4.14】B

原创于 2019-01-17 15:43:07 发布 · 187 阅读

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本文探讨了一种通过二进制位操作优化算法的问题，具体分析了如何利用位操作特性，通过改变二进制位的个数和，实现数值更新优化。文中详细解释了如何证明(a|b)^2 + (a&b)^2 > a^2 + b^2，并给出了具体的代码实现和样例解析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这题比较容易能想到的
由于它每次更新都是将a，b改变为a|b，a&b
我们不妨证明一下：

(a|b)²+(a&b)²>a²+b²

证明如下：
设x=a&b
(a|b)²+(a&b)²=(a+b-x)^2+x2^
反正法：
假设证明不成立

(a+b-x)²+x²<a²+b²
(a+b-x)²-b²<a²-x²
(a-x)(a+2*b-x)<(a-x)(a+x)

由于x<=b（易得）
所以2*b-x>=x
得证
所以我们就可以清楚地知道：

要尽可能地用到那个更新

（也就是说要将其中一个数尽可能搞大）

套套样例看看：
5
1 2 3 4 5
转成二进制：
1
10
11
100
101
110
这样的话，我们就要把它变为111，111，1（二进制）
也就是7²+7²+1²=99
在这其中，我们发现：

它二进制上的每一个位置的个数和是不变的。

这样我们就可以用个桶来做了。
上标：

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int n,a[100010],t,t1,tot[21];
ll ans;

inline int read()
{
	int x=0; char c=getchar();
	while (c<'0' || c>'9') c=getchar();
	while (c>='0' && c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x;
}

int main()
{
	n=read();
	for (int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		x=read();
		for (int j=1;j<=20;j++)
			if (x & (1<<j-1)) tot[j]++;
	}
	for (int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		x=0;
		for (int j=1;j<=20;j++)
			if (tot[j]) tot[j]--,x+=(1<<j-1);
		if (!x) break;
		ans+=(ll)x*x;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}