2017乌鲁木齐区域赛D题Fence Building

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区域赛

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本文介绍使用欧拉公式解决平面内区域计数问题的方法。通过分析点、边与面的关系，利用组合数学中的C(n,4)和C(n,2)计算公式，并结合卢卡斯定理和模运算实现高效求解。适用于大范围数据处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：点击打开链接

现场赛的时候想了一个整场都没推出来，xjb推出个式子来也不会写最后打铁。。。一直都知道这是一道公式题，就是不知道是啥公式，赛后才知道得用欧拉公式。。。平面内的区域个数=平面内的点数+平面内的边数+2，因为这个是在圆上，所以圆外的那1个要减去，所以最后+1而不是+2。点数=C(n,4)，即每4个点连线就有一个平面内的点产生，边数=C(n,2)，即每两个点连线就产生一条边。

这题的范围超大，测试组数1e5，数据范围1e18。。普通的循环和用逆元是不可能过了，组合数求解还有一个卢卡斯定理，可以快速求得。所以问题得解。具体的内容大家可以百度。。我数学比较菜，还写不出来。。233333

这里给出我学习的博客地址：点击打开链接。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const unsigned long long maxn = 1e18+7;
const int mod = 1e9+7;

typedef long long LL;

LL power_mod(LL a,LL b)
{
    LL base=a%mod;
    a=a%mod;
    LL res=1LL;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=base*res%mod;
        base=base*base%mod;
        b=b>>1;
    }
    return res%mod;
}

LL C(LL n, LL m)
{
    if(m > n) return 0;
    LL ans = 1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        LL a = (n + i - m) % mod;
        LL b = i % mod;
        ans = ans * (a * power_mod(b, mod-2) % mod) % mod;
    }
    return ans;
}

LL Lucas(LL n, LL m)
{
    if(m == 0) return 1;
    return C(n % mod, m % mod) * Lucas(n / mod, m / mod) % mod;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    int cas=1;
    while(t--)
    {
        long long n;
        scanf("%lld",&n);
        long long ans=(Lucas(n,2)+Lucas(n,4)+1)%mod;
        printf("Case #%d: %lld\n",cas++,ans);
    }
    return 0;
}