回溯法第二波总结

       回溯法第一波总结，已经总结了回溯法的基本操作，及程序描述套路。第二波讲一讲一些具体情况。分别从力扣上以下八道题进行总结。

对于递归传入参数理解（有for循环）：（仅代表个人理解）

       可能一下子很疑惑，看不懂，为啥有时候传入index+1，i，i+1，有啥区别呢？

       1.index+1，表示还会去遍历当前元素前面的元素及当前元素。

       2.i，表示一直递归当前元素，直到不能递归时，传入下一个元素

       3.i+1，表示一直传入当前元素的下一个元素，它不会再去遍历之前的元素了（和index+1的区别）

17.电话号码的字母组合

题目：

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

示例:

输入："23"
输出：["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"].
 

解题思路：

       如下图所示，解题思路是先通过数字字符去对应字符串，然后从每个字符串中提取一个字母进行组合。

       all station：需要一个全局的index去遍历每一个字符串，并且for循环是从每个字符串的第一个位置开始走起，与index无直接联系。(是不需要去重剪枝的)

       结束条件：当index == 最后一个数字字符对应的字符串。这里不需要别的结束条件，当for循环结束时，自然而然都结束了。

22.括号生成

题目：

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。 

示例：

输入：n = 3
输出：[
       "((()))",
       "(()())",
       "(())()",
       "()(())",
       "()()()"
     ]

解题思路：

       通过左右括号不断填充的形式。

       all station：分为两种情况：1.填入‘（’，进行回溯；2.填入‘）’，进行回溯

       结束条件：当分配的括号数到达2n的时候结束

39.组合总和：

题目：

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：

所有数字（包括 target）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。 
示例 :

输入: candidates = 
[2,3,6,7], 
target = 
7
,
所求解集为:
[
  [7],
  [2,2,3]
]

解题思路：

       题目说数组中的数可以重复选择。所以要如下图进行遍历。

       all station：先将目标值减一个元素减到0或者负数，再回溯，去减第二个元素，以此类推。所以需要一个全局index，去初始化for循环中的i，再次递归的时候index的参数应为上一个的i。（因为数组不重复，所以也不需要去重剪枝）

       边界条件：当target<0的时候，说明减过头了

       结束条件：target == 0时，将temp压入res即可

40.组合总和 II：

题目：

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

说明：

所有数字（包括目标数）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。 
示例 :

输入: candidates = 
[10,1,2,7,6,1,5]
, target = 
8
,
所求解集为:
[
  [1, 7],
  [1, 2, 5],
  [2, 6],
  [1, 1, 6]
]
 

解题思路：

       和上一题类似，因为远数组有重复元素，下图为重复元素产生的原因，以数组{1,2,2,3,4,}为例，第二层第一次是第一个2，，第二层的for循环第二次就会遍历到第二个2，所以就产生了同层重复。所以需要考虑两个情况：1.去重；2.如何遍历

       all station：使用for循环进行遍历，需要一个全局index作为i的初始值。每次递归传入的参数是i+1。由于同一层的重复元素（组合不能重复），所以需要去重，if(i-1 >= start && candidates[i] == candidates[i-1]) continue;

       边界条件：当target<0时，return

       结束条件：当target == 0时，将temp压入res；return

46.全排列：

题目：

给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。

示例:

输入: [1,2,3]
输出:
[
  [1,2,3],
  [1,3,2],
  [2,1,3],
  [2,3,1],
  [3,1,2],
  [3,2,1]
]

解题思路：

        递归交换顺序如下图所示，左边表示index，右边表示i。因为数组中无重复元素，所以不需要去重。

        all station:使用for循环进行遍历，使用index初始化i。使用index+1作为下次递归的参数。因为上一次的递归是index+1之前的数值，所以不需要对index-1操作。

        结束条件：当index==nums.size()的时候，说明交换完了

47.全排列 II：

题目：

给定一个可包含重复数字的序列，返回所有不重复的全排列。

示例:

输入: [1,1,2]
输出:
[
  [1,1,2],
  [1,2,1],
  [2,1,1]
]

解题思路：

       本题在上一题的基础上做了修改，允许数组有重复元素。那么需要考虑去重问题。

       all station：使用for循环，利用index进行i的初始化。和上题一样。这里需要考虑去重问题，去重只要考虑begin到i之间有没有重复的元素，因为i是在begin的基础上往后移动，那么当有出现重复元素的话，说明之前和begin所在元素交换过了，就不需要交换了

      结束条件：index == nums.size()

 

51.N皇后：

题目：

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例:

输入: 4
输出: [
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],
 
 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
 

题目解析：

       N皇后是在全排列的基础上进行的。先建立一个数组进行0~n-1赋值，将这个数组全排列，找到符合条件的全排列即可。

       all station：利用index对for循环中的i进行初始化，交换nums[i]和nums[index]。将index+1作为下一次递归的参数。

       结束条件：当index == nums.size()的时候，进行排列check。check的条件为abs(i-j) == abs(nums[i]-nums[j]);也就是当前皇后距离下一个皇后的宽度和高度相等时，说明在斜对角线上，是不符合条件的。因为数组全排列，保证所有的皇后不会出现在同一行列。

 

52.N皇后 II：

题目：

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回 n 皇后不同的解决方案的数量。

示例:

输入: 4
输出: 2
解释: 4 皇后问题存在如下两个不同的解法。
[
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
 

题目解析：       

       与上一题思路一模一样。N皇后是在全排列的基础上进行的。先建立一个数组进行0~n-1赋值，将这个数组全排列，找到符合条件的全排列即可。

       all station：利用index对for循环中的i进行初始化，交换nums[i]和nums[index]。将index+1作为下一次递归的参数。

       结束条件：当index == nums.size()的时候，进行排列check。check的条件为abs(i-j) == abs(nums[i]-nums[j]);也就是当前皇后距离下一个皇后的宽度和高度相等时，说明在斜对角线上，是不符合条件的。因为数组全排列，保证所有的皇后不会出现在同一行列。

 

77.组合

难度：中等

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:

输入: n = 4, k = 2
输出:
[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

题目解析：

       显然使用回溯法，仔细分析一下。先建立一个1~n的数组，我们需要一个全局index去作为for循环的初始值。

       结束条件：当计数器计到和所要抽取的数字个数相等时结束，将temp压入res

       all station：因为题目不要求重复，所以传入给index的值为i+1（因为不需要再去读取前面的元素了），并同时计数+1
 

78.子集

难度：中等

给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例:

输入: nums = [1,2,3]
输出:
[
  [3],
  [1],
  [2],
  [1,2,3],
  [1,3],
  [2,3],
  [1,2],
  []
]
题目解析：

       分析一下，它这个不同长度的组合，那么我们是不是只要调用不同长度的回溯法就行了呢，答案是肯定的。

       all station:使用for循环，每次压入元素，将i+1传入下次递归，并且将计数器count+1，也传入下次递归

        结束条件：计数器count和阈值相等就结束

 

90.子集II

难度：中等

给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例:

输入: [1,2,2]
输出:
[
  [2],
  [1],
  [1,2,2],
  [2,2],
  [1,2],
  []
]

题目分析：

       在上一题的基础上，元素有了重复，那么就需要去重。当index到i之间有和当前元素重复的元素就无需再选当前元素，因为前面已经选过了（排列在这个重复元素上，也是这个相同的去重（剪枝）方法，因为重复原理都一样）。和上题不一样的是这个阈值是从0~n的，所以需要遍历回溯。

       all station：使用for循环，每次压入元素，将i+1传入下次递归，并且将计数器count+1，也传入下次递归

       结束条件：计数器count和阈值相等就结束