BZOJ2876: [Noi2012]骑行川藏

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数学

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拉格朗日乘数

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本文探讨了一个具体的优化问题，通过拉格朗日乘数法寻找在特定体力耗费条件下达到最优耗时的方法。文章详细介绍了如何建立数学模型，并通过二分搜索算法找到最优解。

显然最优情况下体力耗费恰好为E，我们记f(v1,v2….vn)为在这n个速度下蛋蛋骑到n的耗时，phi(v1,v2…vn)为在这n个速度下蛋蛋骑到n耗费的体力，那么我们就是要在满足phi=E的情况下求f这个函数的最优解，这个东西可以用拉格朗日乘数法做

我们设一个函数 $L(v1,v2....vn)=f(v1,v2....vn)+λ\phi(v1,v2....vn)$ ，分别对v1,v2….vn,λ求偏导，列出n+1个等式

前n个形如 $-\dfrac{si}{vi^2}+2λsiki(vi-vi')=0$
第n+1个就是 $\phi(v1,v2....vn)=\sum_i kisi(vi-vi')^2 -E=0$

对前面那个我们画一下柿子，得 $2λkivi^2(vi-vi')=1$
因为体力耗费是和 $(vi-vi')^2$ 相关的，所以一定有 $vi>=vi'$
所以这个式子关于 $λ$ 单调，我们可以二分 $λ$

二分后， $Kvi^2(vi-vi')$ 这个东西关于 $vi$ 单调 $(vi>=0)$
然后就可以二分出vi，根据 $\phi$ 的值调整

code：

#include<set>
#include<map>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define inf 1e10
#define ld long double
using namespace std;

const int maxn = 21000;
const ld eps = 1e-15;

ld sqr(ld x){ return x*x; }

ld ans;
int n;
ld E;
ld si[maxn],ki[maxn],vt[maxn],vi[maxn];

void cal(int i,ld M)
{
    ld l=max((ld)0.0,vt[i]),r=l+inf;
    ld A=2.0*M*ki[i];
    while(r-l>eps)
    {
        ld mid=(l+r)*0.5;
        ld cc=A*sqr(mid)*(mid-vt[i]);
        if(cc<1) l=mid+eps;
        else r=mid-eps;
    }
    vi[i]=r;
}
ld judge(ld mid)
{
    ld phi=-E;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        cal(i,mid);
        phi+=ki[i]*si[i]*sqr(vi[i]-vt[i]);
    }
    return phi;
}

int main()
{
    //freopen("tmp.in","r",stdin);
    //freopen("tmp.out","w",stdout);

    scanf("%d",&n); scanf("%Lf",&E);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%Lf%Lf%Lf",&si[i],&ki[i],&vt[i]);

    ld l=0,r=inf;
    while(r-l>eps)
    {
        ld mid=(l+r)*0.5;
        ld phi=judge(mid);
        if(phi<0) r=mid-eps;
        else l=mid+eps;
    }
    ans=0.0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=si[i]/vi[i];
    printf("%.8Lf\n",ans);

    return 0;
}