背包问题总

最新推荐文章于 2024-10-24 11:08:45 发布

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#动态规划 #背包问题 #优化 #状态更新

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本文详细解析了五种不同类型的背包问题，包括1.01背包、2.完全背包、3.多重背包、4.二维背包及5.分组背包的基础概念、解决思路与典型实例。通过具体案例讲解了如何运用多种技巧求解最优方案。

1.01背包

二维->一维
基础的倒序更新（注意更新思想可供其他题借鉴）
“恰”装满：f[i][0]=0; 去掉“恰”：f[i][j]=0; （适用于许多种状态更新的题）

2.完全背包

顺序更新，前赴后继（注意更新思想）
引出简单有效的贪心单价优化
引出二进制压缩思想

3.多重背包

掌握二进制压缩
用单调队列解的O（VN）的解法（待掌握）

4.二维背包

问题描述：两重代价（约束）
解法：加一维
注意隐含的方式，如给出取物品总个数的限制（最多只能取M件物品），注意是否为“恰好”取M件

例题：潜水员

Description

潜水员为了潜水要使用特殊的装备。他有一个带2种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。让潜水员下潜的深度需要各种的数量的氧和氮。潜水员有一定数量的气缸。每个气缸都有重量和气体容量。潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。他完成工作所需气缸的总重的最低限度的是多少？
例如：潜水员有5个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119
如果潜水员需要5升的氧和60升的氮则总重最小为249 （1，2或者4，5号气缸）。
你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的最低值。

Input

从文本文件gas.in中读入数据。
第一行有2整数t，a（1<=t<=21，1<=a<=79）。它们表示氧，氮各自需要的量。
第二行为整数n （1<=n<=1000）表示气缸的个数。
此后的n行，每行包括ti，ai，wi（1<=ti<=21，1<=ai<=79，1<=wi<=800）3整数。这些各自是：第i个气缸里的氧和氮的容量及汽缸重量。

Output

仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。

Sample Input

5 60
5
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119

Sample Output

249

（此题暂未找到OJ）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,w,o2,n2,a,b;
int f[30][87];  //当i<o2&&j<n2时，f[i][j]表示“恰好”i氧j氮所需最小重量；i==o2||j==n2时，表示氧或氮达标时重量最小值。 

int main()
{
    int i,j,k;
    scanf("%d%d%d",&o2,&n2,&n);
    memset(f,127,sizeof(f));
    f[0][0]=0;
    //printf("%d\n",f[1][1]);
    for(k=1;k<=n;++k)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        for(i=o2;i>=0;--i)  //
          for(j=n2;j>=0;--j)  //倒序 
          {
            int t1=i+a,t2=j+b; //t1,t2为待更新状态 
            if(t1>o2) t1=o2;  //
            if(t2>n2) t2=n2;  //调整t1,t2。此两处为关键，超过需求可直接用需求量代换，不影响最优解 
            f[t1][t2]=min(f[i][j]+w,f[t1][t2]);  //状态转移，此处取最小，所以初始值赋值无穷大 
          }
    }
    printf("%d",f[o2][n2]);
    return 0;
}

5.分组背包

待续……